170 sujets de l’oral Centrale-Supélec

J’ai été membre du jury de l’oral du concours Centrale-Supélec, dans la filière Mp, pendant une dizaine d’années. À ce titre, j’ai proposé un certain nombre de sujets. Certains sont déjà en ligne sur ce site. Je propose les autres en téléchargement (format pdf) sur cette page. Je remercie par ailleurs les collègues qui ont accepté que je publie leurs travaux (leur nom est cité en bas de page).

À ce jour, cette page contient 170 sujets. J’indique les documents qui contiennent des questions à traiter avec le langage Python.

Polynômes
Composition de polynômes (pdf)
Condition pour que {P\in\mathbb{R}_3[X]} soit scindé simple (pdf)
Opérateur {\Delta} sur les polynômes (pdf)
Polynômes affinement équivalents (pdf)
Un produit scalaire sur {\mathbb{R}_n[X]} (pdf)
Unitaires de {\mathbb{Z}[X]} à racines dans {D(0,1)} (pdf)
Zéros d’une suite de polynômes (pdf)
Dérivées successives de {\exp(1/(1\pm x^2))} (pdf)
Zéros réels d’un polynôme de McLaurin (pdf)
Arithmétique des polynômes [Python] (pdf)
Meilleure approximation polynomiale [Python] (pdf)
Polynômes cyclotomiques [Python] (pdf)
Irréductibilité des polynômes de Chebyshev (pdf)
Suite récurrente et arithmétique (pdf)
Relations entre suites harmoniques (pdf)
Un déterminant à coefficients polynomiaux (pdf)
Autour des polynômes de Bernoulli (pdf)
Les racines du polynôme dérivé [Python] (pdf)
Interpolation et différences divisées [Python] (pdf)
Algèbre générale, Probabilités
Facteurs premiers des entiers {a^n-1} (pdf)
Périodicité de la suite de Fibonacci modulaire (pdf)
Répétitions de coefficients binomiaux (pdf)
Entropie d’une variable aléatoire [Python] (pdf)
Successions de Pile ou Face [Python] (pdf)
Théorème de Wolstenholme [Python] (pdf)
Lancers de dés et temps d’attente [Python] (pdf)
Suites de Pile ou Face [Python] (pdf)
Inégalités à la Chebychev (pdf)
Le dernier chiffre non nul de {n!} [Python] (pdf)
Groupes de matrices [Python] (pdf)
Matrices stochastiques
Matrices stochastiques irréductibles [Python] (pdf)
Puissances de matrices stochastiques [Python] (pdf)
Exemple de matrice stochastique [Python] (pdf)
Diagonaliser une matrice stochastique [Python] (pdf)
Autre exemple de matrice stochastique [Python] (pdf)
Réduction de matrice stochastique [Python] (pdf)
Puissances de matrices stochastiques [Python] (pdf)
Matrices, déterminants
Algorithme de Babylone matriciel (pdf)
Groupe de matrices 3×3 non inversibles (pdf)
Groupes d’endomorphimes de même rang (pdf)
Matrices extrémales à coefficients dans {[-1,1]} (pdf)
Matrices semblables à leur inverse (pdf)
Matrices semblables de rang 1 ou 2 (pdf)
Matrices semblables par blocs (pdf)
Points entiers sur une hyperbole (pdf)
Sous-espace de matrices nilpotentes (pdf)
Sous-espace de matrices inversibles (pdf)
Triplets rectangulaires (pdf)
Un calcul de déterminant (pdf)
Autour de la décomposition QR [Python] (pdf)
Matrice des pgcd (théorème de Smith) [Python] (pdf)
Produit de Kronecker de deux matrices [Python] (pdf)
La matrice des f(pgcd(i,j)) [Python] (pdf)
Équation au crochet de Lie [Téléchargement introuvable]
Identité matricielle AXB=BXA (pdf)
Décomposition en sommes de carrés (pdf)
Autour du produit de Kronecker (pdf)
Composé d’endomorphismes nilpotents (pdf)
Puissances et racines d’une matrice [Python] (pdf)
Matrices tridiagonales [Python] (pdf)
Matrices et coefficients d’Euler [Python] (pdf)
Matrices centro-symétriques [Python] (pdf)
La matrice des {\text{ppcm}(i,j)} [Python] (pdf)
La matrice des {\text{pgcd}(i,j)} [Python] (pdf)
Itération d’une matrice et approximations [Python] (pdf)
Déterminants et nombres de Catalan [Python] (pdf)
Déterminants polynomiaux [Python] (pdf)
Produits scalaires, normes
Décomposition polaire par minimisation (pdf)
Rang et caractère positif d’une matrice en {L} (pdf)
Sommes des distances à une droite (pdf)
Un produit scalaire sur {\mathbb{R}_n[X]} (pdf)
Minimisation d’une forme quadratique sur {\mathbb{Z}^2} (pdf)
Système à diagonale dominante (pdf)
Un problème de minimax (pdf)
Une décomposition polaire [Python] (pdf)
Matrices de Householder [Python] (pdf)
L’inégalité de Kantorovitch [Python] (pdf)
Matrices congruentes (pdf)
Spectre de matrices symétriques (pdf)
Un produit scalaire de polynômes [Python] (pdf)
Matrices de Householder [Python] (pdf)
Polynômes matriciels, comatrice
Algorithme pour le polynôme caractéristique (pdf)
Polynôme caractéristique et minimal (pdf)
Polynôme minimal et matrice compagnon (pdf)
Une démonstration de Cayley-Hamilton (pdf)
Rang et image de la comatrice (pdf)
La transposée de la comatrice (pdf)
Algorithme de Faddeev-Leverrier [Python] (pdf)
Une équation à la comatrice [Python] (pdf)
Réduction des endomorphismes, des matrices
Espaces de matrices commutant deux à deux (pdf)
Une matrice de Vandermonde particulière (pdf)
Étude de l’équation matricielle {AX−XB=Y} (pdf)
Étude de {M\!\to\! AM\!+\!MA} suivant la matrice {A} (pdf)
Itération d’une matrice et approximation (pdf)
Itérations de {f(M)=(AM+MA)/2} (pdf)
{f(u)=(au+ua)/2}{a} est un projecteur (pdf)
Matrices magiques et valeurs propres (pdf)
Matrices par blocs et polynômes annulateurs (pdf)
Sous-algèbre sans nilpotent de {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} (pdf)
Sous-espace de matrices diagonalisables (pdf)
Spectre de sous-matrices principales (pdf)
Une algèbre de matrices 3×3 (pdf)
Autour du crochet de Lie [Python] (pdf)
Réduction d’une matrice par blocs [Python] (pdf)
Diagonalisabilité de matrices par blocs [Python] (pdf)
Réduction d’une famille de matrices [Python] (pdf)
Calculs asymptotiques
Approximations du nombre {\pi} (pdf)
Comparaisons de moyennes (pdf)
Développement d’une racine d’un polynôme (pdf)
DAS de la racine positive d’un polynôme {P_n} (pdf)
Développement en produit infini (pdf)
Développement d’une somme [Python] (pdf)
Un développement en produit infini [Python] (pdf)
Suites numériques, suites de fonctions
Ordre minimal d’une récurrence linéaire (pdf)
Équivalent dans une récurrence de pas 2 (pdf)
Suite récurrente avec {f(x)=x+\ln(x)} (pdf)
Une suite récurrente d’ordre 2 (pdf)
Suite récurrente {u_{n+1}=u_n^2/\sqrt{n}} (pdf)
Suites récurrentes et produit de Cauchy (pdf)
Méthode de Newton et convergence uniforme (pdf)
Décomposition en fraction continue [Python] (pdf)
Une suite récurrente de pas 2 [Python] (pdf)
Convergence d’une suite de fonctions [Python] (pdf)
Approximants de Padé de exp(x) [Python] (pdf)
Produits infinis [Python] (pdf)
Suites récurrentes [Python] (pdf)
Quatre récurrences croisées [Python] (pdf)
Une suite récurrente souvent périodique [Python] (pdf)
Une suite récurrente paramétrée [Python] (pdf)
Une suite récurrence de pas 3 [Python] (pdf)
Suites polynomiales d’entiers [Python] (pdf)
Pavage par des dominos [Python] (pdf)
Convergence simple d’une suite de fonctions [Python] (pdf)
Étude de la monotonie d’une suite [Python] (pdf)
Séries numériques, séries de fonctions
Série des inverses des nombres de Catalan (pdf)
Une série de fonctions {\sum\varphi(x^n)} (pdf)
Une série de fonctions (pdf)
Série entière associée à une suite récurrente (pdf)
Série entière à coefficients factoriels (pdf)
Somme d’une série entière (pdf)
Deux méthodes pour une série entière (pdf)
Série entière et suite de Fibonacci (pdf)
Série entière et intégrales (pdf)
Série entière et matrice circulante (pdf)
Séries entières à coefficients dans {\{0,1\}} (pdf)
Nombres de Bell [Python] (pdf)
Série convergente quasi harmonique [Python] (pdf)
Une série génératrice [Python] (pdf)
Étude d’une série de fonctions [Python] (pdf)
Sommes harmoniques et constante d’Apery (pdf)
Séries entières et sommes harmoniques (pdf)
Une série convergeant rapidement vers {\pi} [Python] (pdf)
Sommes partielles d’une série numérique [Python] (pdf)
Expression de {π\text{cotan}(\pi x)} comme somme de série [Python] (pdf)
Étude d’une série de fonctions [Python] (pdf)
Calcul différentiel
Équation différentielle d’ordre 2 (pdf)
Développement d’une solution d’équadiff (pdf)
Équation différentielle y »+q(x)y=0 (pdf)
Un problème d’extrema liés (pdf)
Étude d’une double inégalité [Python] (pdf)
Intégration
Étude de l’intégrale de {\arctan(x\tan t)} (pdf)
Étude de l’intégrale de {\exp(-x^4)\cos(xt)} (pdf)
Majoration optimale d’une intégrale (pdf)
Une intégrale trigonométrique (pdf)
Une intégrale à paramètre (pdf)
Théorème de Rouché pour les polynômes (pdf)
Étude d’une somme de Riemann [Python] (pdf)
Développement d’une intégrale à paramètre (pdf)
Intégrale complexe et constante d’Apery (pdf)
Longueur approchée d’une ellipse [Python] (pdf)
Approximants de Padé de {\exp(x)} [Python] (pdf)
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