Puissances d'un endomorphisme de L(E)

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit ${E}$ un ${\mathbb{K}}$ -espace vectoriel de dimension ${n\ge1}$ .

Soit ${a}$ un endomorphisme de ${E}$ .

Soit ${f\in\mathcal{L}(E)}$ défini par ${f(u)=\dfrac12(au+ua)}$ .

Dans la question 1, ${a}$ est un projecteur de rang ${r}$ .

Question 1.a
Déterminer

{f^{k}}

pour

{k\ge1}

, et en déduire

{\displaystyle\lim_{k\to\infty}f^{k}=h}

, où

{h}

est un projecteur à préciser.

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Question 1.b
En utilisant une représentation matricielle dans une base adaptée de

{E}

, déterminer le rang de

{f^{k}}

et retrouver

{h=\displaystyle\lim_{k\to\infty}f^{k}}

. Quel est le rang de

{h}

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Question 2
Dans cette question, on suppose seulement que

{a}

est diagonalisable.
En utilisant une représentation matricielle dans une base adaptée de

{E}

, étudier la convergence éventuelle de la suite des

{f^{k}}

dans

{\mathcal{L}(E)}

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