Puissances d’un endomorphisme de L(E)

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\ge1}.

Soit {a} un endomorphisme de {E}.

Soit {f\in\mathcal{L}(E)} défini par {f(u)=\dfrac12(au+ua)}.

Dans la question 1, {a} est un projecteur de rang {r}.

Question 1.a
Déterminer {f^{k}} pour {k\ge1}, et en déduire {\displaystyle\lim_{k\to\infty}f^{k}=h}, où {h} est un projecteur à préciser.
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Question 1.b
En utilisant une représentation matricielle dans une base adaptée de {E}, déterminer le rang de {f^{k}} et retrouver {h=\displaystyle\lim_{k\to\infty}f^{k}}. Quel est le rang de {h}?
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Question 2
Dans cette question, on suppose seulement que {a} est diagonalisable.
En utilisant une représentation matricielle dans une base adaptée de {E}, étudier la convergence éventuelle de la suite des {f^{k}} dans {\mathcal{L}(E)}.
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