J’ai été professeur de mathématiques en Pcsi et Mpsi, aux lycées du Parc (Lyon) et Saint-Louis (Paris), et mon cours de première année est ici présenté ici par chapitres successifs.
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Les chapitres du cours
Premier semestre
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Logique, ensemblesCe chapitre regroupe les différents points de vocabulaire, notations, outils et raisonnements nécessaires aux étudiants pour la conception et la rédaction efficace d’une démonstration mathématique. Ces notions sont introduites de manière progressive. Leur acquisition est un objectif pour la fin du premier semestre.
Le programme se limite strictement aux notions de base figurant ici. Toute étude systématique de la logique ou de la théorie des ensembles est hors programme. (html) [pdf] (exos) (quiz) - Calculs algébriquesCe chapitre « boîte à outils » complète l’enseignement du lycée sur un certain nombre de points importants pour la suite : les calculs de sommes et de produits (dont la formule du binôme), la résolution de petits systèmes linéaires par l’algorithme du pivot, la manipulation d’inégalités et la résolution d’inéquations. (html) [pdf] (exos)
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Nombres complexesL’objectif de ce chapitre, illustré par de nombreuses figures, est de donner une solide pratique des nombres complexes, à travers les aspects suivants :
– étude algébrique du corps C et la notion d’équation algébrique ;
– interprétation géométrique des nombres complexes;
- utilisation des nombres complexes en géométrie plane;
- utilisation du cercle trigonométrique
- manipulation des lignes et fonctions trigonométriques.
– exponentielle complexe et applications à la trigonométrie. (html) [pdf] (exos) (quiz) -
Techniques d’analyseLe point de vue adopté dans ce chapitre est pratique : il s’agit, en prenant appui sur les acquis du lycée, de mettre en œuvre les techniques de base de l’analyse. La mise en place rigoureuse des notions abordées fait l’objet de chapitres ultérieurs.
Les objectifs de formation sont les suivants :
– introduction de fonctions pour établir des inégalités et résoudre des problèmes d’optimisation;
– manipulation des fonctions classiques;
- calculs de dérivées. (html) [pdf] (exos) (quiz) - Calcul intégralOn aborde ici le calcul de primitives, par la mise en pratique, sur des exemples simples, de l’intégration par parties et du changement de variable. On applique les deux points précédents aux équations différentielles. (html) [pdf] (exos) (quiz)
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Suites numériquesL’objectif de ce chapitre est de donner une base solide à l’étude des suites réelles. On insiste sur le caractère fondamental de la propriété de la borne supérieure.
Dans l’étude des suites, on distingue nettement les aspects qualitatifs (monotonie, convergence, divergence) des aspects quantitatifs (majoration, encadrement, vitesse de convergence ou de divergence). (html) [pdf] (exos) (quiz) - Limites et continuitéCe chapitre consiste largement en des adaptations au cas continu de notions déjà étudiées pour les suites. Pour la pratique du calcul de limites, on se borne à ce stade à des calculs très simples, en attendant de disposer d’outils efficaces (développements limités). (html) [pdf] (exos) (quiz)
- Dérivabilité, convexitéDans ce chapitre, on démontre les théorèmes de base relatifs aux fonctions réelles de variable réelle et on développe l'étude des fonctions convexes amorcée en terminale. Dans de nombreuses questions de nature qualitative, on visualise une fonction par son graphe. On souligne cet aspect géométrique en ayant recours à de nombreuses figures. (html) [pdf] (exos) (quiz)
- Arithmétique dans ℤL’objectif de ce chapitre est d’étudier les propriétés de la divisibilité des entiers et des congruences. L’approche préconisée reste élémentaire en ce qu’elle ne fait pas appel au langage des structures algébriques. (html) [pdf] (exos)
- Structures algébriquesCe chapitre a pour but l’introduction des notions les plus élémentaires relatives aux groupes, anneaux, corps, afin de traiter de manière unifiée un certain nombre de situations. (html) [pdf] (exos)
- PolynômesOn étudie les propriétés de base des polynômes et fractions rationnelles, objets particulièrement riches dont l'étude interagit avec beaucoup de thèmes abordés pendant le semestre. L'arithmétique des polynômes est développée comme celle des entiers relatifs (html) [pdf] (exos) (quiz)
Second semestre
- Calcul asymptotiqueL’objectif de ce chapitre est d’introduire les techniques asymptotiques fondamentales, dans les cadres continu et discret. Les développements limités sont les principaux outils du calcul asymptotique. On doit connaître les développements limités usuels et savoir mener à bien rapidement des calculs asymptotiques simples. Ce chapitre est l'occasion de revenir sur la problématique de la vitesse de convergence introduite au premier semestre lors de l’étude des fonctions de variable réelle. (html) [pdf] (exos) (quiz)
- Espaces vectorielsDans ce chapitre, on acquiert les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l'indépendance linéaire; on définit la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d'un problème linéaire. (html) [pdf] (exos) (quiz)
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Applications linéairesOn étudie les opérations sur les applications linéaires (combinaison linéaire, composition). On introduit la notion d'isomorphisme. on considère l'image directe et l'image réciproque d’un sous-espace par une application linéaire (et notamment son noyau).
On examine soigneusement le cas de la dimension finie, et notamment le théorème du rang. (html) [pdf] (exos) (quiz) -
Sous-espaces affinesLe but de cette partie, qu'on illustre par de nombreuses figures, est double :
- montrer comment l'algèbre linéaire permet d'étendre les notions de géométrie affine étudiées au collège et au lycée et utiliser l'intuition géométrique dans un cadre élargi.
- modéliser un problème affine par une équation u(x)=a où u est une application linéaire, et unifier plusieurs situations de ce type déjà rencontrées. (html) [pdf] (exos) - Calcul matricielLe but de ce chapitre est de présenter une initiation au calcul matriciel. Ainsi, on prépare l’étude géométrique de l’algèbre linéaire, on revient sur l’étude des systèmes linéaires et on obtient des exemples fondamentaux d’anneaux. (html) [pdf] (exos) (quiz)
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Matrices, app linéairesLes objectifs de ce chapitre sont les suivants :
– présenter les liens entre applications linéaires et matrices, de manière à exploiter les changements de registres (géométrique, numérique, formel) ;
–étudier l’ effet d’un changement de bases sur la représentation matricielle d’une application linéaire et la relation d’équivalence qui s’en déduit sur Mn,p(K);
– introduire brièvement la relation de similitude sur Mn(K). (html) [pdf] (exos) (quiz) -
DéterminantsLe groupe symétrique est introduit en vue de l’étude des déterminants, mais aussi pour son intérêt propre et ses interventions possibles dans diverses questions d’algèbre et de probabilités.
Dans ce chapitre, on introduit la notion de déterminant d'une famille de vecteurs, en motivant sa construction par la géométrie;
On établit les principales propriétés des déterminants des matrices carrées et des endomorphismes;
On indique quelques méthodes simples de calcul de déterminants. (html) [pdf] (exos) -
Produits scalairesL’objectif de ce chapitre est de généraliser la notion de produit scalaire, afin d’exploiter l’intuition acquise en dimension 2 ou 3 pour résoudre des problèmes posés dans un contexte plus abstrait.
Les familles de polynômes orthogonaux donnent des illustrations pertinentes des notions abordées. (html) [pdf] (exos) (quiz) -
IntégrationDans ce chapitre, on définit l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment et on en établit les propriétés principales.
La notion de continuité uniforme est introduite uniquement en vue de la construction de l'intégrale.
On étudie les méthodes de calcul approché d'intégrales (comparaison des performances de la méthode des rectangles et de celle des trapèzes). (html) [pdf] (exos) (quiz) -
Séries numériquesL’étude des séries prolonge celle des suites et permet d’appliquer les techniques d’analyse asymptotique. Les objectifs majeurs en la matière portent sur les séries à termes positifs et la convergence absolue. L’étude de séries semi-convergentes est limitée aux exemples fournis par le théorème des séries alternées.
On se concentre sur la pratique, qui jouera un rôle important en deuxième année. (html) [pdf] (exos) - Ensembles finisCe chapitre est introduit pour utilisation en probabilités; rattaché aux mathématiques discrètes, le dénombrement interagit également avec l'algèbre et l'informatique. (html) [pdf] (exos) (quiz)
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ProbabilitésCe chapitre a vocation à interagir avec l’ensemble du programme. Il a pour objectif une bonne pratique des variables aléatoires dans le cadre fini. On travaille avec des événements construits en termes de variables aléatoires.
Les exemples et activités proposés sont de nature plus conceptuelle qu’au lycée. (html) [pdf] (exos)