Séries convergentes ou divergentes

Plan du chapitre "Séries numériques"

Définitions de base

Définition (sommes partielles d'une série)
Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite d’éléments de {\mathbb{K}}.
Soit {N} un entier naturel.
La quantité {S_N=\displaystyle\sum_{n=0}^Nu_n} est appelée somme partielle d’indice {N} de la série {\displaystyle\sum u_n}.

Avec les notations précédentes, on a {u_0=S_0} et, {\forall n\in\mathbb{N}^*, u_n=S_n-S_{n-1}}.

La suite {(u_n)_{n\ge0}} est donc à son tour déterminée par la donnée des sommes partielles {(S_n)_{n\ge0}}.

Définition (convergence ou divergence d'une série)
Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{K}}.
On dit que la série {\displaystyle\sum u_n} est convergente si la suite {(S_N)} de ses sommes partielles est convergente.
Sinon on dit que la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n} est divergente.
Définition (somme d'une série convergente)
Soit {\displaystyle\sum u_n} une série convergente.
La quantité {\displaystyle\lim_{N\to\infty}S_N} est notée {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_n} et est appelée somme de la série {\displaystyle\sum u_n}.

L’unicité de la limite implique l’unicité de la somme d’une série convergente.

Ne pas confondre « nature » et « somme » d’une série

Déterminer la nature d’une série, c’est dire si elle est convergente ou divergente.

C’est ensuite un autre problème que de calculer la somme en cas de convergence.

Parfois les deux problèmes peuvent être traités simultanément, mais l’énoncé pourra demander de prouver d’abord la convergence, puis de calculer la somme.

Enfin il est fréquent qu’on puisse prouver la convergence d’une série sans pouvoir en calculer la somme.

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