J’ai été professeur de mathématiques en spé Psi* au lycée Chaptal à Paris. Je partage ici mon cours de seconde année (avec les démonstrations).
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Les chapitres du cours
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Complts algèbre linéaireLe programme est organisé autour de trois objectifs :
- consolider les acquis de la classe de première année ;
- étudier de nouveaux concepts : somme de plusieurs sous-espaces vectoriels, sous-espaces stables, polynômes de matrices, trace, formes linéaires, hyperplans;
- passer du point de vue géométrique au point de vue matriciel et inversement. (pdf) (diap) (exos) (quiz) -
RéductionLa réduction des endomorphismes et des matrices carrées permet d'approfondir les notions étudiées en première année. Elle sera appliquée à l'étude des isométries et des endomorphismes symétriques d'un espace euclidien. Il est attendu des étudiants qu'ils maitrisent les deux points de vue suivants:
- l'aspect géométrique (sous-espaces propres, sous-espaces stables);
- l'aspect algébrique (critères de réduction reposant sur les polynômes annulateurs).
L'application des résultats de la réduction à la recherche des solutions d'une récurrence linéaire à coefficients constants crée un nouveau pont entre l'algèbre et l'analyse et anticipe l'étude des équations différentielles linéaires dont la résolution repose sur des outils similaires. (pdf) (diap) (exos) (quiz) - EV préhilbertiensL’objectif majeur est le théorème de projection orthogonale et l’existence de la meilleure approximation quadratique. On s’appuie sur des exemples de géométrie du plan et de l’espace pour illustrer les différentes notions. (pdf) (diap) (exos) (quiz)
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Espaces euclidiensLes objectifs de cette partie sont les suivants :
- établir les liens entre les registres géométrique et matriciel en dimension quelconque;
- décrire les isométries et les matrices orthogonales en dimensions deux et trois;
- énoncer les formes géométrique et matricielle du théorème spectral. (pdf) (diap) (exos) (quiz) -
Espaces normésCe chapitre vise les objectifs suivants:
- généraliser au cas des espaces vectoriels de dimension finie certaines notions (convergence de suites, limite et continuité de fonctions) étudiées en première année dans le cadre de l'analyse réelle, indispensables pour aborder l'étude des suites de matrices, des fonctions à valeurs vectorielles et du calcul differentiel;
- préparer l'introduction de la norme de la convergence uniforme, afin de fournir un cadre topologique à la convergence des suites et séries de fonctions.
L'aspect géométrique de certains concepts topologiques gagne à être illustré par de nombreuses figures. (pdf) (diap) (exos) (quiz) -
Séries numériquesCette partie a pour objectif de consolider et d’élargir les acquis de première année sur les séries, notamment la convergence absolue, en vue de l’étude des probabilités discrètes et des séries de fonctions.
La semi-convergence n’est pas un objectif du programme. (pdf) (diap) (exos) (quiz) -
Séries de fonctionsL’objectif de ce chapitre est de définir différents modes de convergence d’une suite ou d’une série de fonctions et d’étudier la stabilité des propriétés de ces fonctions par passage à la limite. En prolongement du chapitre sur les espaces vectoriels normés de dimension finie, un lien est établi avec l’utilisation de la norme de la convergence uniforme.
Les fonctions sont définies sur un intervalle I de R et à valeurs dans R ou C. (pdf) (diap) (exos) (quiz) -
Séries entièresLes objectifs de ce chapitre sont les suivants :
- étudier la convergence d'une série entière de variable complexe et mettre en évidence la notion de rayon de convergence ;
- étudier les propriétés de sa somme en se limitant à la continuité dans le cas d'une variable complexe;
- établir les développements en série entière des fonctions usuelles.
La théorie des séries entières sera appliquée au cas des séries génératrices dans le chapitre dédié aux variables aléatoires discrètes et à la recherche de solutions d'équations différentielles linéaires. (pdf) (diap) (exos) (quiz) -
Fonctions vectoriellesL'objectif de ce chapitre est double :
- généraliser aux fonctions à valeurs dans R^n la notion de dérivée d'une fonction numérique, en vue notamment de préparer le chapitre sur les équations différentielles ;
- formaliser des notions géométriques (arc paramétré, tangente) et cinématiques (vitesse, accélération) rencontrées dans d'autres disciplines scientifiques.
Toutes les fonctions sont définies sur un intervalle I de Ret à valeurs dans R^n (pdf) (diap) (exos) -
IntégrationL'objectif de ce chapitre est multiple:
- Étendre la notion d'intégrale étudiée en première année à des fonctions continues par morceaux sur un intervalle quelconque par le biais des intégrales généralisées
- Définir, dans le cadre des fonctions continues par morceaux, la notion de fonction intégrable
- Compléter le chapitre dédié aux suites et aux séries de fonctions par le théorème de la convergence dominée et le théorème d'intégration terme à terme
- Étudier les fonctions définies par des intégrales dépendant d'un paramètre.
Les fonctions considérées sont définies sur un intervalle de R et à valeurs réelles ou complexes. (pdf) (diap) (exos) (quiz) -
ProbabilitésLes chapitres de probabilités permettent de développer les compétences suivantes:
- modéliser des situations aléatoires par le choix d'un espace probabilisé ou de variables aléatoires adéquats;
- maîtriser un formalisme spécifique aux probabilités.
Dans une première partie, on met en place du cadre général de la théorie des probabilités permettant d’aborder l’étude de processus stochastiques à temps discret.
Dans une deuxième partie, on étend la notion de variable aléatoire finie à des variables dont l'image est un ensemble dénombrable, on fournit des outils permettant, sur des exemples simples, l'étude de processus stochastiques à temps discret, et on exposer deux résultats asymptotiques : l'approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson et la loi faible des grands nombres.
On introduit les fonctions génératrices et utiliser les propriétés des séries entières. (pdf) (diap) (exos) - Calcul différentielCe chapitre est consacré à l’étude des fonctions de R^p dans R. Il est axé sur la mise en place d’outils permettant de traiter des applications du calcul différentiel à l’analyse et la géométrie : résolution d’équations aux dérivées partielles, problèmes d’extremums, courbes, surfaces. On se limite en pratique au cas p≤3. (pdf) (diap) (exos)
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Équations diff.L'étude des équations différentielles linéaires scalaires d'ordres un et deux, commencée en première année, se poursuit par celle des systèmes différentiels linéaires d'ordre 1 et des équations scalaires à coefficients non constants, en mettant l'accent sur les équations d'ordre deux. On s'attache à développer à la fois les aspects théorique et pratique :
- la forme des solutions;
- le théorème de Cauchy linéaire;
- le lien entre les équations scalaires et les systèmes différentiels d'ordre un;
- la résolution explicite.
Ce chapitre favorise les interactions avec les autres disciplines scientifiques. (pdf) (diap) (exos)