Calcul différentiel

Exercices corrigés

Étude d’extrema locaux

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{f(x,y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{x}}

et

{f(0,0)=1}

Continuité et dérivées partielles de

{f}

en

{(0,0)}

?
Déterminer les extrema de

{f}

sur

{\mathbb{R}^{2}}

.

Une équation aux dérivées partielles

(Oral Mines-Ponts)
Déterminer les

{f\in \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^{2},\ \mathbb{R})}

telles que

{\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}-4\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}+3\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}=0}

f(x,y) = (sin x – sin y)/(sh x- sh y)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Ensemble de définition de

{f(x,y)=\dfrac{\sin x-\sin y}{\text{sh} x-\,\text{sh} y}}

.
Montrer que

{f}

se prolonge sur

{\mathbb{R}^{2}}

.

Un problème de minimisation

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in S_{n}(\mathbb{R})}

à valeurs propres strictement positives.
Soit

{B\in \mathbb{R}^{n}}

, et

{f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}}

définie par

{f(X)={X}^{\top}A\,X-2\,{B}^{\top}X}

.
Montrer que

{f}

possède un minimum et le déterminer.

Fonctions harmoniques homogènes

(Oral X-Cachan Psi)
Déterminer les

{f\in \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R})}

,

m

-homogènes (

m\in\mathbb{N}^*

) et de laplacien nul.

Minimum d’une forme quadratique

(Oral X-Cachan Psi)
On se donne un produit scalaire sur

\mathbb{R}^n

, un vecteur

v

de

\mathbb{R}^n

, une matrice

A

de

\mathcal{M}_n(\mathbb{R)}

, et

f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}

définie par

{f(X)=\dfrac{1}{2}\left\|D_{1}X\right\|^{2}-\left(V\mid X\right)}

.
On montre que

f

possède un minimum absolu sur

\mathbb{R}^n

et en on calcule la valeur.

Un calcul d’extrema lié

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{A_{\lambda}=\Big\{x\in(\mathbb{R}^{+*})^{n},\; \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}=n\lambda\Big\}}

.
Soit

{f\colon A_{\lambda} \rightarrow\mathbb{R},\; x\mapsto \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\ln(x_{i})}

.
On étudie les extrema de

f

sur

A_{\lambda}

.

Équation aux dérivées partielles

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{u_{0}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}}

une fonction de classe

{{\mathcal C}^{1}}

.
On cherche les fonctions

{u}

de classe

{{\mathcal C}^{2}}

telles que :

{\dfrac{\partial u}{\partial t} + 2tx\dfrac{\partial u}{\partial x} = 0\ \text{et}\ u(0,x) = u_{0}(x)}

Fonction continue non C1

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f}

définie sur

\mathbb{R}^2

par

{f(x,y) =\dfrac{x^{4}y}{x^{4}+y^{2}}}

si

{(x,y)\ne (0,0)}

, et

{f(0,0) = 0}

.
La fonction

{f}

est-elle de classe

{{\mathcal C}^{1}}

?

Un calcul d’extremums

(Oral Mines-Ponts Psi)
Préciser les extremums sur

{\mathbb{R}^{3}}

de

{f(x,y,z)=x^{2}\!+\!y^{2}\!+\!z^{2}\!- \!2xyz}

.