Fonctions harmoniques homogènes

(Oral X-Cachan Psi)
Soit {f\in \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R})} et {m\in \mathbb{N}^*} tels que : {\begin{array}{l}f(tx,ty)=t^{m}f(x,y)\ (\star)\\\\\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)+\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)=0\ (\star\star)\end{array}}

  1. Montrer que : {x\dfrac{\partial f}{\partial x}+y\dfrac{\partial f}{\partial x}=mf}.

    Montrer que : x^{2}\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\!+\!2xy\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}+y^{2}\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\!=m(m\!-\!1)f

  2. Soit {h(\theta)=f(\cos \theta,\sin \theta)}.

    Vérifier que : {h^{\prime \prime}+m^{2}h=0}.

  3. En déduire que {f} est polynomiale en {x,y}.
  4. Donner les fonctions vérifiant {(\star)} et {(\star\star)}.

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