Voici les problèmes d’analyse que j’ai donnés, au fil des années, dans ma classe de Mpsi du lycée Saint-Louis, au titre de « devoirs à la maison ». Vu le grand nombre de devoirs mis en ligne sur ce site, j’ai opté pour une distinction « Algèbre/Analyse » qui est une simple commodité de classement.
Problèmes, par thème
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Nombres réels, suites réelles
Florilège d’exercicesCe sujet est composé de dix exercices très variés qui peuvent être résolus avec les connaissances de début de première année (dérivation, équations, suites numériques, probabilités, arithmétique). (Partie I) (Partie II)
Problèmes de sommationsCe sujet est composé de quatre exercices indépendants (et de niveau correct) sur le thème des sommations de nombres réels.
Il y est question de sommes doubles, de récurrences, de sommes télescopiques.
Le dernier exercice mérite le détour. (html)
Factorisations dans sum(nk)Dans ce problème de très bon niveau, on introduit la somme Sp(n) des kp pour k compris entre 1 et n.
On connaît bien S1(n), S2(n) et S3(n).
On expose une méthode de calcul des Sp(n) de proche en proche.
On en déduit des éléments de la factorisation de l'expression Sp(n) en fonction des valeurs de l'entier p. (Partie I) (Partie II)
L’inégalité arithmético-géométriqueCe sujet est consacré à une démonstration, dont le principe est attribué à Leonhard Euler, de l'inégalité arithmético-géométrique (html)
Belles inégalités de moyennesCe sujet formateur est constitué de quatre exercices indépendants de très bon niveau.
Le thème commun en est les différents types de moyenne d'une suite de réels (moyenne arithmétique, géométrique, harmonique, etc.) (html)
Quatre preuves de Cauchy-SchwarzCe sujet propose quatre démonstrations différentes de la célèbre inégalité de Cauchy-Schwarz (html)
Cauchy-Schwarz en actionCe sujet est composé de sept exercices indépendants.
Il s'agit le plus souvent d'établir des inégalités non évidentes.
Cela montre l'importance de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, qui constitue ici le thème commun. (html)
Inégalités de Holder et MinkowskiCe problème est consacré à la démonstration de deux inégalités classiques:
L'inégalité de Holder et l'inégalité de Minkowski (html)
Suite récurrente paramétrée Ce problème d'analyse, assez technique, est consacré à l'étude d'une suite récurrente (un) dépendant d'un paramètre.
En fonction de ce paramètre et de la valeur initiale u0, on étudie les variations et la limite éventuelle de la suite (un). (Partie I) (Partie II)
Variations sur la partie entièreCe problème offre un panorama très complet de questions relatives à la fonction partie entière.
En particulier on y calcule des sommes qui font intervenir cette fonction. (sujet) (corrigé)
Borne supérieure et sous-gradientCe problème est consacré à la notion de sous-gradient d'une fonction sur une partie X de IR.
L'ensemble est assez théorique et ardu, mais constitue une très bon entraînement sur la notion de borne supérieure d'une partie non vide majorée de IR. (I) (II) (III)
Approcher ln(x) par les suitesCe problème se propose de définir la fonction logarithme népérien, avec comme seul outil l'étude de suites adjacentes. Un sujet technique mais très formateur. (sujet) (corrigé)
exp(x) par les suites adjacentesCe problème, qui est un peu le pendant du sujet précédent, se propose de définir la fonction exponentielle par les suites adjacentes.
L'ensemble est d'un niveau très soutenu.
On recommande sincèrement de bien travailler ce sujet. (sujet) (corrigé)
Problèmes de sommationsCe sujet est composé de quatre exercices indépendants (et de niveau correct) sur le thème des sommations de nombres réels.
Il y est question de sommes doubles, de récurrences, de sommes télescopiques.
Le dernier exercice mérite le détour. (html)
Factorisations dans sum(nk)Dans ce problème de très bon niveau, on introduit la somme Sp(n) des kp pour k compris entre 1 et n.
On connaît bien S1(n), S2(n) et S3(n).
On expose une méthode de calcul des Sp(n) de proche en proche.
On en déduit des éléments de la factorisation de l'expression Sp(n) en fonction des valeurs de l'entier p. (Partie I) (Partie II)
L’inégalité arithmético-géométriqueCe sujet est consacré à une démonstration, dont le principe est attribué à Leonhard Euler, de l'inégalité arithmético-géométrique (html)
Belles inégalités de moyennesCe sujet formateur est constitué de quatre exercices indépendants de très bon niveau.
Le thème commun en est les différents types de moyenne d'une suite de réels (moyenne arithmétique, géométrique, harmonique, etc.) (html)
Quatre preuves de Cauchy-SchwarzCe sujet propose quatre démonstrations différentes de la célèbre inégalité de Cauchy-Schwarz (html)
Cauchy-Schwarz en actionCe sujet est composé de sept exercices indépendants.
Il s'agit le plus souvent d'établir des inégalités non évidentes.
Cela montre l'importance de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, qui constitue ici le thème commun. (html)
Inégalités de Holder et MinkowskiCe problème est consacré à la démonstration de deux inégalités classiques:
L'inégalité de Holder et l'inégalité de Minkowski (html)
Suite récurrente paramétrée Ce problème d'analyse, assez technique, est consacré à l'étude d'une suite récurrente (un) dépendant d'un paramètre.
En fonction de ce paramètre et de la valeur initiale u0, on étudie les variations et la limite éventuelle de la suite (un). (Partie I) (Partie II)
Variations sur la partie entièreCe problème offre un panorama très complet de questions relatives à la fonction partie entière.
En particulier on y calcule des sommes qui font intervenir cette fonction. (sujet) (corrigé)
Borne supérieure et sous-gradientCe problème est consacré à la notion de sous-gradient d'une fonction sur une partie X de IR.
L'ensemble est assez théorique et ardu, mais constitue une très bon entraînement sur la notion de borne supérieure d'une partie non vide majorée de IR. (I) (II) (III)
Approcher ln(x) par les suitesCe problème se propose de définir la fonction logarithme népérien, avec comme seul outil l'étude de suites adjacentes. Un sujet technique mais très formateur. (sujet) (corrigé)
exp(x) par les suites adjacentesCe problème, qui est un peu le pendant du sujet précédent, se propose de définir la fonction exponentielle par les suites adjacentes.
L'ensemble est d'un niveau très soutenu.
On recommande sincèrement de bien travailler ce sujet. (sujet) (corrigé)
Nombres complexes, suites complexes
Trigonométrie de haut volUne sélection de six très bons (et assez difficiles) exercices de trigonométrie. (html)
L’équation du troisième degréCe problème est consacré à la résolution de l'équation du troisième degré à coefficients complexes, par la méthode de Cardan.
La problème est divisé en deux parties. (Partie I) (Partie II)
Exponentielle complexeCe problème exigeant est consacré à la définition de la fonction exponentielle complexe, et des fonctions trigonométriques usuelles.
On y trouve même la définition du nombre π!
On termine ce long sujet (mais ô combien formateur) par une définition des fonctions argument et logarithme principal dans ?. (sujet) (corrigé)
Pentagone et heptadécagoneDans ce sujet, on commence par des considérations trigonométriques qui conduisent au calcul de cos(2π/5) par radicaux, et à la construction du pentagone régulier.
Dans une deuxième partie, nettement plus corsée, on calcule cos(2π/17) par radicaux, et on finit par la construction de l'heptadécagone (17 cotés) réguliers, à la règle et au compas. (sujet) (corrigé)
Billard circulaireDans ce sujet, on s'intéresse à la trajectoire d'une boule dans un billard circulaire.
Suivant l'angle initial de la trajectoire, on vérifie que cette trajectoire est ou bien fermée ou bien qu'elle remplit une partie dense d'une couronne circulaire.
Le problème contient en particulier une étude des sous-groupes additifs de IR. (sujet) (corrigé)
Puissances de z = 0.28+0.96iOn considère l'ensemble des puissances du nombre complexe z=0.28+0.96i.
Par des considérations arithmétiques et trigonométriques, on établit que cet ensemble est une partie dense du cercle unité. (html)
Géométrie par les complexesCe problème très complet aborde des questions classiques de géométrie du plan avec l'aide exclusive des nombres complexes.
Il y est question (entre autres), de la droite d'Euler, du triangle orthique, et du cercle des neuf points. (sujet) (corrigé)
Les formules à la John MachinLe mathématicien écossais John Machin, en 1706, calcula 100 décimales de π avec une formule utilisant des arctangentes.
On se propose ici d'approfondir la question, par le biais notamment de l'algorithme de Lehmer. Dans deux autres parties, on évoque les travaux de Gregory et de Gauss sur le sujet. (sujet) (corrigé)
Bons exercices sur les complexesCe sujet rassemble six exercices de très bon niveau sur les nombres complexes. (html)
L’équation du troisième degréCe problème est consacré à la résolution de l'équation du troisième degré à coefficients complexes, par la méthode de Cardan.
La problème est divisé en deux parties. (Partie I) (Partie II)
Exponentielle complexeCe problème exigeant est consacré à la définition de la fonction exponentielle complexe, et des fonctions trigonométriques usuelles.
On y trouve même la définition du nombre π!
On termine ce long sujet (mais ô combien formateur) par une définition des fonctions argument et logarithme principal dans ?. (sujet) (corrigé)
Pentagone et heptadécagoneDans ce sujet, on commence par des considérations trigonométriques qui conduisent au calcul de cos(2π/5) par radicaux, et à la construction du pentagone régulier.
Dans une deuxième partie, nettement plus corsée, on calcule cos(2π/17) par radicaux, et on finit par la construction de l'heptadécagone (17 cotés) réguliers, à la règle et au compas. (sujet) (corrigé)
Billard circulaireDans ce sujet, on s'intéresse à la trajectoire d'une boule dans un billard circulaire.
Suivant l'angle initial de la trajectoire, on vérifie que cette trajectoire est ou bien fermée ou bien qu'elle remplit une partie dense d'une couronne circulaire.
Le problème contient en particulier une étude des sous-groupes additifs de IR. (sujet) (corrigé)
Puissances de z = 0.28+0.96iOn considère l'ensemble des puissances du nombre complexe z=0.28+0.96i.
Par des considérations arithmétiques et trigonométriques, on établit que cet ensemble est une partie dense du cercle unité. (html)
Géométrie par les complexesCe problème très complet aborde des questions classiques de géométrie du plan avec l'aide exclusive des nombres complexes.
Il y est question (entre autres), de la droite d'Euler, du triangle orthique, et du cercle des neuf points. (sujet) (corrigé)
Les formules à la John MachinLe mathématicien écossais John Machin, en 1706, calcula 100 décimales de π avec une formule utilisant des arctangentes.
On se propose ici d'approfondir la question, par le biais notamment de l'algorithme de Lehmer. Dans deux autres parties, on évoque les travaux de Gregory et de Gauss sur le sujet. (sujet) (corrigé)
Bons exercices sur les complexesCe sujet rassemble six exercices de très bon niveau sur les nombres complexes. (html)
Continuité, dérivabilité
Une équation fonctionnelleDans ce problème, on se propose de résoudre l'équation fonctionnelle f(x2)=f(x)2, sous certaines hypothèses de continuité et de dérivabilité pour f. (html)
Autres équations fonctionnellesCe sujet est consacré à la résolution des équations fonctionnelles suivantes:
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),
f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y). (sujet) (corrigé)
Approcher un nuage de pointsOn se propose d'étudier la droite qui constitue la meilleure approximation d'un nuage de points, en variant le modèle d'approximation. (sujet) (corrigé)
Une équation fonctionnelleCe problème porte sur la résolution de l'équation fonctionnelle f(x)f(y)=f((x+y)/(1+xy)). (sujet) (corrigé)
Méthode de Newton-RaphsonDans ce problème très complet, on expose la méthode de Newton-Raphson de résolution itérative de l'équation f(x)=0.
On applique cette méthode à la recherche d'une approximation des racines d'un polynôme.
On étudie très soigneusement la rapidité de convergence de telles approximations. (sujet) (corrigé)
Chebyshev et WeierstrassCe problème propose une démonstration du théorème de Weierstrass (approximation polynomiale des fonctions continues) au moyen des polynômes de Chebyshev. (Partie 1) (Partie 2)
Bernstein et WeierstrassCe problème propose une démonstration du théorème de Weierstrass (approximation polynomiale des fonctions continues) au moyen des polynômes de Bernstein. (html)
Fonctions dilatantesCe problème étudie les fonctions dilatantes, c'est-à-dire les fonctions continues f vérifiant toujours |f(y)-f(x)|≥|y-x|. (html)
Dérivées successivesCe très joli problème d'analyse réelle étudie les dérivées successives des fonctions f(x)=1/√(1-x2) et g(x)=1/√(1+x2). (sujet) (corrigé)
Autres équations fonctionnellesCe sujet est consacré à la résolution des équations fonctionnelles suivantes:
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),
f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y). (sujet) (corrigé)
Approcher un nuage de pointsOn se propose d'étudier la droite qui constitue la meilleure approximation d'un nuage de points, en variant le modèle d'approximation. (sujet) (corrigé)
Une équation fonctionnelleCe problème porte sur la résolution de l'équation fonctionnelle f(x)f(y)=f((x+y)/(1+xy)). (sujet) (corrigé)
Méthode de Newton-RaphsonDans ce problème très complet, on expose la méthode de Newton-Raphson de résolution itérative de l'équation f(x)=0.
On applique cette méthode à la recherche d'une approximation des racines d'un polynôme.
On étudie très soigneusement la rapidité de convergence de telles approximations. (sujet) (corrigé)
Chebyshev et WeierstrassCe problème propose une démonstration du théorème de Weierstrass (approximation polynomiale des fonctions continues) au moyen des polynômes de Chebyshev. (Partie 1) (Partie 2)
Bernstein et WeierstrassCe problème propose une démonstration du théorème de Weierstrass (approximation polynomiale des fonctions continues) au moyen des polynômes de Bernstein. (html)
Fonctions dilatantesCe problème étudie les fonctions dilatantes, c'est-à-dire les fonctions continues f vérifiant toujours |f(y)-f(x)|≥|y-x|. (html)
Dérivées successivesCe très joli problème d'analyse réelle étudie les dérivées successives des fonctions f(x)=1/√(1-x2) et g(x)=1/√(1+x2). (sujet) (corrigé)
Développements limités, fonctions
Une étude de suite récurrenteOn étudie ici une suite définie par une récurrence un+1=g(un), en fonction des valeurs du terme initial u0.
(sujet)
(corrigé)
Trois études de suitesCe sujet consacré aux études de suites numériques est composé de trois exercices indépendants de très bon niveau. On recommande! (sujet) (corrigé)
Une étude asymptotiqueUn problème très technique mais formateur, où il est question de déterminer un équivalent du terme général d'une suite définie par une somme binomiale. (sujet) (corrigé)
DL et approximations de πCe problème est consacré à la recherche d'approximations du nombre π, au moyen de développements limités de fonctions trigonométriques. (sujet) (corrigé)
Quatre études de fonctionsCe sujet est constitué de quatre exercices indépendants, de bon niveau, sur le thème de l'étude (globale et locale) de fonctions d'une variable réelle. (sujet) (corrigé)
DL et études de fonctionsUn très bon problème d'analyse en trois parties, où il est question de développements limités, d'études de suites, de trigonométrie et d'études de fonctions. (sujet) (corrigé)
Une famille de fonctionsCe problème propose l'étude d'une famille de fonctions dépendant d'un paramètre réel. (sujet) (corrigé)
DL, familles de fonctionsCe problème propose l'étude d'une famille de fonctions dépendant d'un paramètre réel. L'accent est mis sur les études locales suivant les valeurs du paramètre. (sujet)
Autres familles de fonctionsCe problème propose l'étude d'une famille de fonctions dépendant d'un paramètre réel. L'accent est mis sur les études globales suivant les valeurs du paramètre. (sujet) (corrigé)
Trois études de suitesCe sujet consacré aux études de suites numériques est composé de trois exercices indépendants de très bon niveau. On recommande! (sujet) (corrigé)
Une étude asymptotiqueUn problème très technique mais formateur, où il est question de déterminer un équivalent du terme général d'une suite définie par une somme binomiale. (sujet) (corrigé)
DL et approximations de πCe problème est consacré à la recherche d'approximations du nombre π, au moyen de développements limités de fonctions trigonométriques. (sujet) (corrigé)
Quatre études de fonctionsCe sujet est constitué de quatre exercices indépendants, de bon niveau, sur le thème de l'étude (globale et locale) de fonctions d'une variable réelle. (sujet) (corrigé)
DL et études de fonctionsUn très bon problème d'analyse en trois parties, où il est question de développements limités, d'études de suites, de trigonométrie et d'études de fonctions. (sujet) (corrigé)
Une famille de fonctionsCe problème propose l'étude d'une famille de fonctions dépendant d'un paramètre réel. (sujet) (corrigé)
DL, familles de fonctionsCe problème propose l'étude d'une famille de fonctions dépendant d'un paramètre réel. L'accent est mis sur les études locales suivant les valeurs du paramètre. (sujet)
Autres familles de fonctionsCe problème propose l'étude d'une famille de fonctions dépendant d'un paramètre réel. L'accent est mis sur les études globales suivant les valeurs du paramètre. (sujet) (corrigé)
Calcul Intégral
Polynômes de LegendreUn problème très complet (polynômes, calcul intégral, produits scalaires, dérivation) et extrêmement formateur sur le thème des polynômes de Legendre.
(sujet)
(corrigé)
Questions d’irrationalitéUn beau problème sur le thème de l'irrationnalité de certains réels (π et π2, ln(r), exp(r), cos(πr)). (sujet) (corrigé)
Calcul d’intégrale à paramètreCe problème est consacré à l'étude et au calcul (par une méthode originale tirée du calcul des résidus) d'une intégrale généralisée à paramètre. (sujet) (corrigé)
Calcul intégral et extremumCe très bon problème d'analyse mêle le calcul différentiel, le calcul intégral, et les études de suites. (sujet) (corrigé)
Calcul intégral et sériesUn problème très complet, où il est question d'intégrales à paramètre, et de sommes de séries numériques. (sujet) (corrigé)
Approximation par convolutionUn sujet assez court, mais très technique, où on étudie l'approximation d'une fonction par une suite de fonctions définies par un produit de convlution. (html)
Intégrales de Wallis et formule de StirlingCe problème (qu'on recommande chaudement au lecteur) est consacré à une démonstration du célèbre équivalent de Stirling.
Cette démonstration utilise les non moins célèbres intégrales de Wallis. (html)
Les intégrales de FutunaCe problème étudie une famille d'intégrales dont le comportement évoque les célèbres intégrales de Wallis. (html)
Somme des 1/n2 et calcul intégralOn voit ici une méthode de calcul de la somme de la série des 1/n², en utilisant une famille d'intégrales et le lemme de Lebesgue. (html)
Approximation d’intégralesCe problème propose une amélioration de la méthode du point moyen, pour le calcul de l'intégrale d'une fonction de classe C1. (sujet) (corrigé)
Irrationalité de exp(r) et ln(r)Par le biais du calcul intégral, on démontre ici l'irrationnalité de réels de la forme exp(r) ou ln(r), où r est lui-même rationnel. (html)
Accélération de convergenceDans ce problème, on étudie une méthode d'accélération de la convergence d'une série numérique alternée. (sujet) (corrigé)
Questions d’irrationalitéUn beau problème sur le thème de l'irrationnalité de certains réels (π et π2, ln(r), exp(r), cos(πr)). (sujet) (corrigé)
Calcul d’intégrale à paramètreCe problème est consacré à l'étude et au calcul (par une méthode originale tirée du calcul des résidus) d'une intégrale généralisée à paramètre. (sujet) (corrigé)
Calcul intégral et extremumCe très bon problème d'analyse mêle le calcul différentiel, le calcul intégral, et les études de suites. (sujet) (corrigé)
Calcul intégral et sériesUn problème très complet, où il est question d'intégrales à paramètre, et de sommes de séries numériques. (sujet) (corrigé)
Approximation par convolutionUn sujet assez court, mais très technique, où on étudie l'approximation d'une fonction par une suite de fonctions définies par un produit de convlution. (html)
Intégrales de Wallis et formule de StirlingCe problème (qu'on recommande chaudement au lecteur) est consacré à une démonstration du célèbre équivalent de Stirling.
Cette démonstration utilise les non moins célèbres intégrales de Wallis. (html)
Les intégrales de FutunaCe problème étudie une famille d'intégrales dont le comportement évoque les célèbres intégrales de Wallis. (html)
Somme des 1/n2 et calcul intégralOn voit ici une méthode de calcul de la somme de la série des 1/n², en utilisant une famille d'intégrales et le lemme de Lebesgue. (html)
Approximation d’intégralesCe problème propose une amélioration de la méthode du point moyen, pour le calcul de l'intégrale d'une fonction de classe C1. (sujet) (corrigé)
Irrationalité de exp(r) et ln(r)Par le biais du calcul intégral, on démontre ici l'irrationnalité de réels de la forme exp(r) ou ln(r), où r est lui-même rationnel. (html)
Accélération de convergenceDans ce problème, on étudie une méthode d'accélération de la convergence d'une série numérique alternée. (sujet) (corrigé)
Équations différentielles
Discrétiser une soln d’equadiffDans ce très beau problème d'analyse, on étudie l'approximation d'une solution de l'équation différentielle f′′(t) = a(t)f(t) + b(t)
(sujet)
(corrigé)
Équations différentielles linéairesCe problème très complet est formé de quatre exercices indépendants, sur le thème des équations différentielles linéaires. (sujet) (corrigé)
Équations différentielles et MapleOn voit ici comment s'aider d'un logiciel de calcul formel dans la résolution d'équations différentielles linéaires à paramètre. (sujet) (corrigé)
Équations différentielles linéairesCe problème très complet est formé de quatre exercices indépendants, sur le thème des équations différentielles linéaires. (sujet) (corrigé)
Équations différentielles et MapleOn voit ici comment s'aider d'un logiciel de calcul formel dans la résolution d'équations différentielles linéaires à paramètre. (sujet) (corrigé)