Factorisations de sommes (1/2)

Partie I | Partie II

Pour tous

{n,p}

dans

{\mathbb{N}^*}

on pose

{S_p(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^p}

Les ${S_p(n)}$ sont bien connus si ${1\le n\le 3}$ . Ainsi : ${S_2(n)=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\;\text{et}\;S_3(n)=\dfrac{n^2(n+1)^2}4}$ On se pose la question suivante : ${S_{p}(n)}$ est-il toujours factorisable par ${n(n+1)}$ ? Et si oui peut-on prouver mieux que cette factorisation?

Partie I. Une première factorisation.

Dans cette partie on va montrer, pour tout ${p\ge1}$ , qu’il existe un polynôme ${A_p}$ à coefficients rationnels et de degré ${p-1}$ tel que : ${\forall\, n\ge1,\;S_p(n)=n(n+1)\,A_p(n)}$

Question I.1
Préciser

{A_1,A_2,A_3}

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On trouve immédiatement :

${S_1(n)=n(n\!+\!1)A_1(n)}$ où ${A_1(n)=1/2}$
${S_2(n)=n(n\!+\!1)A_2(n)}$ où ${A_2(n)=(2n\!+\!1)/6}$
${S_3(n)=n(n\!+\!1)A_3(n)}$ où ${A_3(n)=(n^2\!+\!n)/4}$

Question I.2
Développer

{(k\!+\!1)^{p+1}}

{1\!\le\! k\!\le\! n}

et montrer

{(E_p)}

{\begin{array}{l}(n+1)^{p+1}-n-1\\\qquad=(p+1)S_p(n)+\displaystyle\sum_{j=1}^{p-1}\dbinom{p+1}{j}S_j(n)\end{array}}

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Question I.3
Montrer qu’il existe un polynôme

{\widehat{A}_p(n)}

à coefficients entiers, de degré

{p-1}

, tel que :

{\forall\,n\ge1,\;(n\!+\!1)^{p+1}\!-\!n\!-\!1\!=\!n(n\!+\!1)\widehat{A}_p(n)}

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Question I.4
En déduire que la propriété à démontrer est vraie pour tout entier

{p\ge1}

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Question I.5
Donner le coefficient dominant de

{A_p(n)}

.
En déduire :

{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{p+1}}S_p(n)=\dfrac{1}{p+1}}

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Question I.6
Avec ce qui précède, mais sans utiliser

{S_p(n)}

pour

{p\lt 4}

, calculer l’expression de

{S_4(n)}

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