Partie I | Partie II
Pour tous {n,p} dans {\mathbb{N}^*} on pose {S_p(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^p}.
Les {S_p(n)} sont bien connus si {1\le n\le 3}. Ainsi : {S_2(n)=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\;\text{et}\;S_3(n)=\dfrac{n^2(n+1)^2}4}On se pose la question suivante : {S_{p}(n)} est-il toujours factorisable par {n(n+1)}? Et si oui peut-on prouver mieux que cette factorisation?
Partie I. Une première factorisation.
Dans cette partie on va montrer, pour tout {p\ge1}, qu’il existe un polynôme {A_p} à coefficients rationnels et de degré {p-1} tel que : {\forall\, n\ge1,\;S_p(n)=n(n+1)\,A_p(n)}
| Question I.1 Préciser {A_1,A_2,A_3}. |
| Question I.2 Développer {(k\!+\!1)^{p+1}} si {1\!\le\! k\!\le\! n} et montrer {(E_p)}{\begin{array}{l}(n+1)^{p+1}-n-1\\\qquad=(p+1)S_p(n)+\displaystyle\sum_{j=1}^{p-1}\dbinom{p+1}{j}S_j(n)\end{array}} |
| Question I.3 Montrer qu’il existe un polynôme {\widehat{A}_p(n)} à coefficients entiers, de degré {p-1}, tel que : {\forall\,n\ge1,\;(n\!+\!1)^{p+1}\!-\!n\!-\!1\!=\!n(n\!+\!1)\widehat{A}_p(n)} |
| Question I.4 En déduire que la propriété à démontrer est vraie pour tout entier {p\ge1}. |
| Question I.5 Donner le coefficient dominant de {A_p(n)}. En déduire :{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{p+1}}S_p(n)=\dfrac{1}{p+1}}. |
| Question I.6 Avec ce qui précède, mais sans utiliser {S_p(n)} pour {p\lt 4}, calculer l’expression de {S_4(n)}. |