Factorisations de sommes (1/2)

Partie I | Partie II


Pour tous {n,p} dans {\mathbb{N}^*} on pose {S_p(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^p}.

Les {S_p(n)} sont bien connus si {1\le n\le 3}. Ainsi : {S_2(n)=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\;\text{et}\;S_3(n)=\dfrac{n^2(n+1)^2}4}On se pose la question suivante : {S_{p}(n)} est-il toujours factorisable par {n(n+1)}? Et si oui peut-on prouver mieux que cette factorisation?

Partie I. Une première factorisation.

Dans cette partie on va montrer, pour tout {p\ge1}, qu’il existe un polynôme {A_p} à coefficients rationnels et de degré {p-1} tel que : {\forall\, n\ge1,\;S_p(n)=n(n+1)\,A_p(n)}

Question I.1
Préciser {A_1,A_2,A_3}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
On trouve immédiatement :

  • {S_1(n)=n(n\!+\!1)A_1(n)}{A_1(n)=1/2}
  • {S_2(n)=n(n\!+\!1)A_2(n)}{A_2(n)=(2n\!+\!1)/6}
  • {S_3(n)=n(n\!+\!1)A_3(n)}{A_3(n)=(n^2\!+\!n)/4}

Question I.2
Développer {(k\!+\!1)^{p+1}} si {1\!\le\! k\!\le\! n} et montrer {(E_p)}{\begin{array}{l}(n+1)^{p+1}-n-1\\\qquad=(p+1)S_p(n)+\displaystyle\sum_{j=1}^{p-1}\dbinom{p+1}{j}S_j(n)\end{array}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question I.3
Montrer qu’il existe un polynôme {\widehat{A}_p(n)} à coefficients entiers, de degré {p-1}, tel que : {\forall\,n\ge1,\;(n\!+\!1)^{p+1}\!-\!n\!-\!1\!=\!n(n\!+\!1)\widehat{A}_p(n)}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question I.4
En déduire que la propriété à démontrer est vraie pour tout entier {p\ge1}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question I.5
Donner le coefficient dominant de {A_p(n)}.
En déduire :{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{p+1}}S_p(n)=\dfrac{1}{p+1}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question I.6
Avec ce qui précède, mais sans utiliser {S_p(n)} pour {p\lt 4}, calculer l’expression de {S_4(n)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).