Factorisations de sommes (1/2)

Partie I | Partie II


Pour tous {n,p} dans {\mathbb{N}^*} on pose {S_p(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^p}.

Les {S_p(n)} sont bien connus si {1\le n\le 3}. Ainsi : {S_2(n)=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\;\text{et}\;S_3(n)=\dfrac{n^2(n+1)^2}4}On se pose la question suivante : {S_{p}(n)} est-il toujours factorisable par {n(n+1)}? Et si oui peut-on prouver mieux que cette factorisation?

Partie I. Une première factorisation.

Dans cette partie on va montrer, pour tout {p\ge1}, qu’il existe un polynôme {A_p} à coefficients rationnels et de degré {p-1} tel que : {\forall\, n\ge1,\;S_p(n)=n(n+1)\,A_p(n)}

Question I.1
Préciser {A_1,A_2,A_3}.
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On trouve immédiatement :

  • {S_1(n)=n(n\!+\!1)A_1(n)}{A_1(n)=1/2}
  • {S_2(n)=n(n\!+\!1)A_2(n)}{A_2(n)=(2n\!+\!1)/6}
  • {S_3(n)=n(n\!+\!1)A_3(n)}{A_3(n)=(n^2\!+\!n)/4}

Question I.2
Développer {(k\!+\!1)^{p+1}} si {1\!\le\! k\!\le\! n} et montrer {(E_p)}{\begin{array}{l}(n+1)^{p+1}-n-1\\\qquad=(p+1)S_p(n)+\displaystyle\sum_{j=1}^{p-1}\dbinom{p+1}{j}S_j(n)\end{array}}
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Question I.3
Montrer qu’il existe un polynôme {\widehat{A}_p(n)} à coefficients entiers, de degré {p-1}, tel que : {\forall\,n\ge1,\;(n\!+\!1)^{p+1}\!-\!n\!-\!1\!=\!n(n\!+\!1)\widehat{A}_p(n)}
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Question I.4
En déduire que la propriété à démontrer est vraie pour tout entier {p\ge1}.
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Question I.5
Donner le coefficient dominant de {A_p(n)}.
En déduire :{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{p+1}}S_p(n)=\dfrac{1}{p+1}}.
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Question I.6
Avec ce qui précède, mais sans utiliser {S_p(n)} pour {p\lt 4}, calculer l’expression de {S_4(n)}.
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