Entiers premiers et Python
Quelques exercices de programmation Python sur le thème Arithmétique et nombres premiers.
Python
Arithmétique avec Python
Quelques exercices d’arithmétique (pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide, coefficients de Bezout) avec Python.
Une récurrence très sensible
(Oral Centrale) On étudie (avec Python, puis théoriquement) le comportement d’une suite récurrente, en fonction de la valeur de son terme initial.
Mme Michu cherche son parapluie
Mme Michu cherche son parapluie qui se trouve (peut être!) dans l’un des 7 étages de son immeuble…
Limite de fonctions inverses
(Oral Centrale 2018)
On pose : {\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;A_{n}:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{x^{k}}{k}}.
Montrer que : {\forall\,y\in\mathbb{R}^{+},\;\exists\,!\,x\in\mathbb{R}^{+},\;A_{n}(x)=y}.
On note {x=f_{n}(y)}. Tracer des fonctions {f_n}.
Montrer que la suite {(f_n)_{n\ge1}} converge simplement sur {\mathbb{R}^+} vers {f\colon x\mapsto1-\text{e}^{-x}}.
On pose : {\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;A_{n}:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{x^{k}}{k}}.
Montrer que : {\forall\,y\in\mathbb{R}^{+},\;\exists\,!\,x\in\mathbb{R}^{+},\;A_{n}(x)=y}.
On note {x=f_{n}(y)}. Tracer des fonctions {f_n}.
Montrer que la suite {(f_n)_{n\ge1}} converge simplement sur {\mathbb{R}^+} vers {f\colon x\mapsto1-\text{e}^{-x}}.
Nombres de Bell
(Oral Centrale 2018)
On pose {u_{0}=1} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}u_{k}}.
Écrire une fonction Python calculant {u_n}.
Conjecturer la valeur de {\dfrac{1}{\text{e}}\displaystyle\sum\limits_{k\ge 0}\dfrac{k^{n}}{k!}}.
Prouver cette conjecture. Calculer {f(x)=\displaystyle\sum\dfrac{u_{n}}{n!}x^n}.
On pose {u_{0}=1} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}u_{k}}.
Écrire une fonction Python calculant {u_n}.
Conjecturer la valeur de {\dfrac{1}{\text{e}}\displaystyle\sum\limits_{k\ge 0}\dfrac{k^{n}}{k!}}.
Prouver cette conjecture. Calculer {f(x)=\displaystyle\sum\dfrac{u_{n}}{n!}x^n}.
Un jeton et quatre cases
(Oral Centrale 2018)
Un jeton se déplace aléatoirement sur quatre cases, selon un protocole particulier.
On demande une simulation de l’expérience avec Python.
On diagonalise la matrice de transition, pour étudier la probabilité que le jeton se trouve sur telle ou telle case à la date {n} quand {n\to+\infty}
Un jeton se déplace aléatoirement sur quatre cases, selon un protocole particulier.
On demande une simulation de l’expérience avec Python.
On diagonalise la matrice de transition, pour étudier la probabilité que le jeton se trouve sur telle ou telle case à la date {n} quand {n\to+\infty}
Étude d’une hélice
(Oral Centrale)
Étudier l’arc paramétré défini par :
x(t)=(1\!+\!\cos t)\cos(t), \;y(t)=(1\!+\!\cos t)\sin (t), \;z(t)=4\sin(t/2)
Étudier l’arc paramétré défini par :
x(t)=(1\!+\!\cos t)\cos(t), \;y(t)=(1\!+\!\cos t)\sin (t), \;z(t)=4\sin(t/2)
Intégrales de Wallis hyperboliques
(Oral Centrale)
On étudie {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\,\text{sh}^n(t)\,\text{d}t} où \text{sh}(\alpha)=1
(calcul approché avec Python, relation de récurrence, limite, équivalent, séries…)
On étudie {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\,\text{sh}^n(t)\,\text{d}t} où \text{sh}(\alpha)=1
(calcul approché avec Python, relation de récurrence, limite, équivalent, séries…)
Zéros terminaux de n!
(oral Ccp 2013)
Déterminer le nombre de zéros terminant l’écriture décimale de 2013!
Déterminer le nombre de zéros terminant l’écriture décimale de 2013!
Vidages d’urnes bicolores
(Oral Centrale)
Une urne contient {b} boules blanches et {n-b} rouges.
On les tire successivement et sans remise.
On note {C} le nombre de changements de couleur. Calculer {E(C)} et {V(C)}.
Une urne contient {b} boules blanches et {n-b} rouges.
On les tire successivement et sans remise.
On note {C} le nombre de changements de couleur. Calculer {E(C)} et {V(C)}.
Diagonalisation d’une matrice en zig-zag
(Oral Ccp)
Diagonaliser la matrice (d’ordre 2n) : {A_n=}{\begin{pmatrix}1 & 2n & 1 & \cdots & 2n \\ 2 & 2n-1 & 2 & \cdots & 2n-1 \\ 3 & 2n-2 & 3 & \cdots & 2n-2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 2n & 1 & 2n & \cdots & 1\end{pmatrix}}.
Diagonaliser la matrice (d’ordre 2n) : {A_n=}{\begin{pmatrix}1 & 2n & 1 & \cdots & 2n \\ 2 & 2n-1 & 2 & \cdots & 2n-1 \\ 3 & 2n-2 & 3 & \cdots & 2n-2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 2n & 1 & 2n & \cdots & 1\end{pmatrix}}.
Étude d’un temps d’attente
(Oral Centrale)
Soit {(X_{i})_{i\in \mathbb{N}^{\ast}}} des v.a.r. indépendantes de même loi : {\mathbb{P}(X_{i}=1)=p} ; {\mathbb{P}(X_{i}=2)=1\!-\!p}.
Soit Y_k le temps d’attente de X_1+\cdots+X_n\ge k.
On étudie la loi de Y_k et son espérance.
Soit {(X_{i})_{i\in \mathbb{N}^{\ast}}} des v.a.r. indépendantes de même loi : {\mathbb{P}(X_{i}=1)=p} ; {\mathbb{P}(X_{i}=2)=1\!-\!p}.
Soit Y_k le temps d’attente de X_1+\cdots+X_n\ge k.
On étudie la loi de Y_k et son espérance.
Diagonalisation et puissances
(Oral Ccp)
Soit {M=(m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {\begin{cases}m_{i,j}=1\text{\ si\ }j\in\{1,i,n\}\\m_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Diagonaliser {M}. Calculer {M^{p+1}} pour tout {p\ge0}.
Soit {M=(m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {\begin{cases}m_{i,j}=1\text{\ si\ }j\in\{1,i,n\}\\m_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Diagonaliser {M}. Calculer {M^{p+1}} pour tout {p\ge0}.
Réduction d’une matrice en L
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{R}^{n}} et {M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} avec {m_{i,n} = m_{n,i} = a_{i}} pour tout {i}, et {m_{i,j}=0} sinon.
Montrer que {M} est diagonalisable puis diagonaliser {M}.
Soit {(a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{R}^{n}} et {M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} avec {m_{i,n} = m_{n,i} = a_{i}} pour tout {i}, et {m_{i,j}=0} sinon.
Montrer que {M} est diagonalisable puis diagonaliser {M}.
Inversibilité et déterminant
(Oral Tpe)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} avec a_{i,j}=1 si j\equiv i\!+\!1\ [n]\!, et a_{i,j}=0 sinon.
Inversibilité de {B_p=\displaystyle\sum_{m=0}^{p-1}A^{m}}, et calcul de {\det(B_p)}.
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} avec a_{i,j}=1 si j\equiv i\!+\!1\ [n]\!, et a_{i,j}=0 sinon.
Inversibilité de {B_p=\displaystyle\sum_{m=0}^{p-1}A^{m}}, et calcul de {\det(B_p)}.
Le paradoxe du duc de Toscane
Nombre de façons d’écrire {9} et {10} comme somme de trois entiers de {[[ 1,6]]}.
On lance trois dés. Soit {S} la somme. Comparer {\mathbb{P}(S=9)} et {\mathbb{P}(S=10)}.
On lance trois dés. Soit {S} la somme. Comparer {\mathbb{P}(S=9)} et {\mathbb{P}(S=10)}.
Le paradoxe des anniversaires
Quelle est la probabilité {p_n} pour que dans une classe de {n} élèves, les anniversaires d’au moins deux élèves tombent le même jour? À partir de quelle valeur de {n} a-t-on {p_n\ge0.5}?
Mme Michu et les probabilités
Quatre exercices sur le thème « Mme Michu et les probabilités »
Un dé, un python, un trinôme
On jette un dé trois fois (résultats {a,b,c}). Donner la probabilité pour que {aX^2+bC+c} ait deux racines réelles distinctes / une racine réelle double / pas de racine réelle.