Ensam
Exercices corrigés donnés au concours « Ensam »

Intégrales et séries

(Oral Ensam)
On pose

{a_{n}=-\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{n}\ln t}{t+1}\,\text{d}t}

Montrer que

{(a_{n})}

est définie, et déterminer sa limite.
Déterminer un équivalent de

{a_{n}}

.
Calculer

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}}

et

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}

.

Encadrement de la somme d’une série

(Oral Ensam)
Soit, pour

{n\in\mathbb{N}^*}

:

{u_n=\Bigl(\dfrac{n}{n+1}\Bigr)^{n^2}}

.
Montrer que la série

{S=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n}

converge.
Majorer son reste d’indice

{n}

en fonction de

{u_{n+1}}

.
Encadrer

{S}

au moyen de deux sommes partielles consécutives.

Série des restes d’une série

(Oral Ensam)
On pose, pour

{n\in\mathbb{N}^*}

:

{u_n=\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac{(-1)^k}{k}}

.
Justifier l’existence de

{u_n}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge1} u_n}

converge et calculer sa somme.

Réduction d’un endomorphisme intégral

(Oral Ensam)
Pour tout

{P\in \mathbb{R}_{n}[X]}

, on définit :

{U(P)(x)=e^{x}\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\!\!e^{-t}P(t)\,\text{d}t}

Montrer que

{U}

est un endomorphisme de

{\mathbb{R}_{n}[X]}

.
Est-il diagonalisable? Préciser son inverse.

Combinaisons de matrices nilpotentes

(Oral Mines-Ponts & Ensam)
Soient

{A,B}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

: la matrice

{A+tB}

est-elle nilpotente? Réciproquement, s’il existe des

{t_k}

distincts tels que

{A+t_kB}

soit nilpotente, les matrices

{A,B}

sont-elles nilpotentes?

A nilpotente réelle commutant avec A^T

(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Déterminer

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

nilpotente et telle que

{A^{\top}A=A\,A^{\top}}

.

Valeur propre commune

(Oral Tpe, Ensam, Mines-Ponts et Centrale)
Montrer que deux matrices

{A,B}

de

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe

{U\ne0}

dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

telle que

{AU = UB}

.

Diagonalisation et déterminant

(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Soit

{M = (m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

où

{m_{i,i} = a}

pour

{i\in[[1,n]]}

et

{m_{i,j} = b}

si

{i\ne j}

.
La matrice

{M}

est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres. Quelles sont les dimensions de ses sous-espaces propres ? Calculer

{\det(M)}

.

Endomorphisme intégral

(Oral Tpe et Ensam)
Pour

{f\in E={\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}

, soit

{\Phi(f)\,\colon x\mapsto\displaystyle\int_0^1\min(x,t) f(t) \,\text{d}t}

.
On demande les éléments propres de

{\Phi}

.

Convergence d’une suite de fonctions

(Oral Ensam)
Soit

{h}

une fonction continue sur

[0,\pi/2]

.
Étudier la convergence de la suite de fonctions

{f_n\,\colon x\in[0,\pi/2]\mapsto h(x)(\sin x)^n}

.

Trace de M → AMB

(Oral Ensam)
Soient

{A,B}

dans

{{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

.
Calculer la trace de

\Phi\colon M\mapsto AMB

Égalité matricielle et déterminant

(Oral Ensam)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

telle que

{A^3+A-I_n=0}

. Montrer que

{\det(A)>0}

.

Endomorphisme et trace

(Oral Ensam)
Éléments propres de

{f:M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})\mapsto \text{tr}(M)I_n-M}

.

Réduction d’une matrice par blocs

(Oral Ensam)
Éléments propres de

{A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}

et

{\begin{pmatrix}A&A&A\\A&A&A\\A&A&A\end{pmatrix}}

.

Racine de matrice nilpotente

(Oral Ensam)
Existe-t-il

{B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{K})}

telle que

{B^2=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}}

?

Séries de primitives

(Oral Ensam et Centrale)
Soit

{f_0\in{\mathcal C}^0([a,b],\mathbb{R})}

et :

{\forall n\in\mathbb{N},\;\forall x\in[a,b],\;f_{n+1}(x)=\displaystyle\int_a^xf_n(t)\text{d}t}

Montrer que

{\displaystyle\sum f_n}

converge, et déterminer sa somme

Équivalent d’une somme de série

(Oral Ensam)
Nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\text{e}^{-n^2x^2}}

et équivalent en

{0^+}

Recherche de rep-units

On admet que tout

{n\in\mathbb{N}}

impair non multiple de

{5}

a un multiple

{N}

ne s’écrivant (en base

{10}

) qu’avec des

{1}

. L’objet de cet exercice est de programmer la recherche de

N

, et d’étudier pour quelles valeurs de

n

l’entier

N

a une longueur record

Élimination de jetons sur un cercle

(Oral Ensam)
On dispose en cercle

{n}

jetons numérotés de

{0}

à

{n- 1}

(comme sur le cadran d’une horloge). On retire le jeton numéro

{0}

, puis un sur deux en parcourant le cercle jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’un seul jeton. On étudie ici le numéro du dernier jeton restant.

Déterminant et coefficients binomiaux

(Oral Ensam)
Soit

{A\in {\mathcal M}_{p+1}(\mathbb{R})}

où

{a_{i,j} =\dbinom{m+i}{j}}

.
Calculer

{\det(A)}

.

Rang et inégalités

(Oral Ensam)
Soient

{E}

et

{F}

deux espaces vectoriels de dimension finie et

{f,g\in{\mathcal L}(E,F)}

. Montrer que

{|\text{rg}(f)-\text{rg}(g)|\le\text{rg}(f + g)\le\text{rg}(f) + \text{rg}(g)}

.

Équa. diff. linéaire d’ordre 1

(Oral Ensam)
Résoudre l’équation différentielle

{(E):\ x(1 - x^{2})y'+(2x^{2} - 1)y = x}

.

Jetons bicolores

(Oral Ensam)
Soit n jetons bleus/blancs sur une table (b faces bleues visibles). On en prend deux jetons au hasard. Si le 2^nd est d’une couleur différente du 1^er, on le retourne. On étudie le nombre

{X_{k}}

de faces bleues après

{k}

étapes, et la loi-limite de

X_k

quand

k\to+\infty

Calcul d’une intégrale

(Oral Ensam)
Existence et calcul de l’intégrale

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x-1}{\ln(x)}\text{d}x}

.

Une intégrale à paramètre

(Oral Ensam)
Étudier

{x\mapsto F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\arctan (xt)}{t(1+t^2)}\,\text{d}t}