QCM (suites et séries de fonctions)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 18 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Suites et séries de fonctions ».
Suites de fonctions
Méthode de Newton et convergence uniforme
(Oral Centrale) On définit une suite numérique par récurrence et avec une méthode de Newton. On étudie le mode de convergence en fonction du terme initial.
Développement en produit infini
(Oral Centrale) On définit une suite de fonctions par récurrence; on établit qu’elle converge vers une certaine fonction {f}, et avec une vitesse cubique de convergence.
Convergence d’une suite d’intégrales
(Oral Centrale)
Sous certaines hypothèses sur la suite {(g_n)}, et pour {f} de classe {\mathcal{C}^1} sur {[0,1]}, on calcule {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{1}f(x)g_{n}(x)dx}.
Sous certaines hypothèses sur la suite {(g_n)}, et pour {f} de classe {\mathcal{C}^1} sur {[0,1]}, on calcule {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{1}f(x)g_{n}(x)dx}.
Exemples de suites de fonctions
Six exercices sur le thème « suites de fonctions »
Limite de fonctions inverses
(Oral Centrale 2018)
On pose : {\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;A_{n}:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{x^{k}}{k}}.
Montrer que : {\forall\,y\in\mathbb{R}^{+},\;\exists\,!\,x\in\mathbb{R}^{+},\;A_{n}(x)=y}.
On note {x=f_{n}(y)}. Tracer des fonctions {f_n}.
Montrer que la suite {(f_n)_{n\ge1}} converge simplement sur {\mathbb{R}^+} vers {f\colon x\mapsto1-\text{e}^{-x}}.
On pose : {\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;A_{n}:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{x^{k}}{k}}.
Montrer que : {\forall\,y\in\mathbb{R}^{+},\;\exists\,!\,x\in\mathbb{R}^{+},\;A_{n}(x)=y}.
On note {x=f_{n}(y)}. Tracer des fonctions {f_n}.
Montrer que la suite {(f_n)_{n\ge1}} converge simplement sur {\mathbb{R}^+} vers {f\colon x\mapsto1-\text{e}^{-x}}.
Suite de solutions d’une équa-diff
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {E_{n}:(n+1)y''-(2n+1)y'+ny=0}.
Soit {y_{n}} la solution telle que {y_{n}(0)=0} et {y_{n}'(0)=1}.
Montrer que la suite {(y_n)} converge uniformément sur tout segment de {\mathbb{R}^+}.
Soit {E_{n}:(n+1)y''-(2n+1)y'+ny=0}.
Soit {y_{n}} la solution telle que {y_{n}(0)=0} et {y_{n}'(0)=1}.
Montrer que la suite {(y_n)} converge uniformément sur tout segment de {\mathbb{R}^+}.
Intégrale et constante d’Euler
(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que {I_n=\displaystyle\int_{0}^{n}\left(1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}\ln(x)\,\text{d}x} tend vers {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x}\ln (x)\,\text{d}x=-\gamma}.
Montrer que {I_n=\displaystyle\int_{0}^{n}\left(1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}\ln(x)\,\text{d}x} tend vers {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x}\ln (x)\,\text{d}x=-\gamma}.
Polynômes et suite de Fibonacci
(Oral Centrale Mp)
Étude des {P_n(x)=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1-x^{F_k})}, où les {F_k} forment la suite de Fibonacci.
Étude des {P_n(x)=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1-x^{F_k})}, où les {F_k} forment la suite de Fibonacci.
Convergence d’une suite de fonctions
(Oral Centrale Mp)
Convergence simple de la suite des fonctions {x\mapsto f_{n}(x)=\text{e}^{-nx}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(nx)^k}{k!}}
Convergence simple de la suite des fonctions {x\mapsto f_{n}(x)=\text{e}^{-nx}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(nx)^k}{k!}}
Suite puis série de fonctions
Étudier la suite puis la série des {h_{n}(x)=x^{2n+1}\ln(x)}.
Limites d’intégrales généralisées
(Oral Ccp)
Existence de {J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\arctan(t)}{t^{3/2}+t^{n}}\,\text{d}t}.
Calcul de {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}J_n}.
Existence de {J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\arctan(t)}{t^{3/2}+t^{n}}\,\text{d}t}.
Calcul de {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}J_n}.
Une suite récurrente de fonctions
(Oral Mines-Ponts)
Sur {\mathbb{R}^{+}}, on pose {f_{0}=0} et {f_{n+1}(t)=\sqrt{t+f_{n}(t)}}.
Étudier la convergence de la suite (f_n)_{n\ge0}.
Sur {\mathbb{R}^{+}}, on pose {f_{0}=0} et {f_{n+1}(t)=\sqrt{t+f_{n}(t)}}.
Étudier la convergence de la suite (f_n)_{n\ge0}.
Suite convergente de polynômes
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(P_{n})_{n\ge 0}} une suite de {\mathbb{R}_{m}[X]}, avec {m \ge 2}, simplement convergente vers {f}. Montrer que {f} est polynomiale et que la convergence est uniforme sur tout segment.
Soit {(P_{n})_{n\ge 0}} une suite de {\mathbb{R}_{m}[X]}, avec {m \ge 2}, simplement convergente vers {f}. Montrer que {f} est polynomiale et que la convergence est uniforme sur tout segment.
Convergence uniforme et extrémas
(Oral Mines-Ponts)
On suppose que la suite (f_n) de fonctions continues converge uniformément sur [a,b].
Étudier les suites {\max\limits_{[a,b]}f_n} et {\min\limits_{[a,b]}f_n}
On suppose que la suite (f_n) de fonctions continues converge uniformément sur [a,b].
Étudier les suites {\max\limits_{[a,b]}f_n} et {\min\limits_{[a,b]}f_n}
Une suite de fonctions
(Oral Mines-Ponts)
Convergence uniforme sur {\mathbb{R}^+} de la suite des {f_n:x\mapsto \arctan\left(\dfrac{n+x}{1+nx}\right)}.
Convergence uniforme sur {\mathbb{R}^+} de la suite des {f_n:x\mapsto \arctan\left(\dfrac{n+x}{1+nx}\right)}.
Dérivabilité dun produit infini
(Oral Centrale)
Montrer que {G(x)=\displaystyle\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)e^{-{x}/{n}}} est de classe {{\mathcal C}^\infty} sur {\mathbb{R}^+}.
Montrer que {G(x)=\displaystyle\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)e^{-{x}/{n}}} est de classe {{\mathcal C}^\infty} sur {\mathbb{R}^+}.
Suite des itérées d’une fonction
(Oral Centrale)
Convergence sur [0,1]de la suite des itérées de {\varphi\,\colon x\mapsto 2x (1-x)}
Convergence sur [0,1]de la suite des itérées de {\varphi\,\colon x\mapsto 2x (1-x)}
Convergence d’une suite de fonctions
(Oral Ensam)
Soit {h} une fonction continue sur [0,\pi/2].
Étudier la convergence de la suite de fonctions {f_n\,\colon x\in[0,\pi/2]\mapsto h(x)(\sin x)^n}.
Soit {h} une fonction continue sur [0,\pi/2].
Étudier la convergence de la suite de fonctions {f_n\,\colon x\in[0,\pi/2]\mapsto h(x)(\sin x)^n}.
Suite d’intégrales à paramètre
(Oral X-Cachan)
Soit {\varphi\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, continue et bornée. On pose : {\varphi_{n}(x) = \dfrac{n}{\sqrt\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(y)\,\text{e}^{-n^{2}(x-y)^{2}}\,\text{d}y}.
On montre que les {\varphi_{n}} sont {{\mathcal C}^{1}} et CVS vers {\varphi}.
Soit {\varphi\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, continue et bornée. On pose : {\varphi_{n}(x) = \dfrac{n}{\sqrt\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(y)\,\text{e}^{-n^{2}(x-y)^{2}}\,\text{d}y}.
On montre que les {\varphi_{n}} sont {{\mathcal C}^{1}} et CVS vers {\varphi}.