Décompositions en éléments simples (3/3)
6 exercices corrigés sur la décomposition en éléments simples.
Polynômes
QCM (polynômes)
Un questionnaire à choix unique (à chacune des 9 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Polynômes ».
Série entière et suite de Fibonacci
(Oral Centrale) On définit la suite de Fibonacci et une suite de polynômes associés. On étudie ensuite une série entière reliée à cette suite de polynômes.
Relations entre sommes harmoniques
(Oral Centrale). On établit des relations entre des {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{P(k)}{k}} , où {P} est un polynôme.
Irréductibilité des polynômes de Tchebychev
(Oral Centrale). Dans cet exercice, on étudie les propriétés d’irréductibilité dans {\mathbb{Z}[X]} des polynômes de Tchebychev.
Zéros d’un polynôme de Maclaurin
(Orale Centrale). On étudie les premières racines réelles strictement positives du polynôme de Maclaurin de la fonction sinus.
Racines de dérivées n-ièmes
(Oral Centrale) On étudie les racines des dérivées {n}-ièmes des fonctions définies par {f(x)=exp(1/(1-x^2))} et {g(x)=exp(1/(1+x^2))}.
Racines d’une suite de polynômes
(Oral Centrale) On étudie les propriétés des racines de {P_{n}(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(nX)^{k}}{k!}}
Unitaires de ℤ[X] à racines dans D(0,1)
(Oral Centrale) On étudie l’ensemble des polynômes unitaires de {\mathbb{Z}[X]}, à racines dans le disque unité. Parmi eux, les polynômes cyclotomiques.
Polynômes affinement équivalents
(Oral Centrale). Deux polynômes sont dits affinement équivalents si on passe de l’un à l’autre par un isomorphisme affine. On étudie cette relation sur ℝ[X].
Opérateur Δ sur les polynômes
(Oral Centrale). À l’aide de l’opérateur {\Delta} sur les polynômes, on étudie les séries entières de la forme {\sum P(n)x^n}, où {P} est un polynôme donné.
Polynômes scindés simples
(Oral Centrale). On détermine des conditions nécessaires pour qu’un polynôme à coefficients réels soit scindé simple.
Composition de polynômes
(Oral Centrale). Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un polynôme A puisse s’écrire comme le composé B(C(X)) de deux polynômes.
Polynômes P tels que P(cos x)=cos P(x)
(Oral Mines-Ponts)
Résoudre l’équation d’inconnue {P\in\mathbb{R}[X]} définie par {(E):\ \forall\,x\in\mathbb{R},\;P(\cos x)=\cos (P(x))}
Résoudre l’équation d’inconnue {P\in\mathbb{R}[X]} définie par {(E):\ \forall\,x\in\mathbb{R},\;P(\cos x)=\cos (P(x))}
Une forme linéaire sur Rn[X]
(Oral Centrale)
Soit {L} la forme linéaire définie sur {E=\mathbb{R}_{n}[X]} par :{\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\displaystyle\int_{-1}^{1}P(x)dx}On se donne {-1\leq x_{0}\lt ...\lt x_{n}\leq 1}.
Montrer qu’il existe {(\lambda _{0},\ldots\lambda _{n})\in \mathbb{R}^{n+1}} tel que : {\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda _{k}P(x_{k})}
Soit {L} la forme linéaire définie sur {E=\mathbb{R}_{n}[X]} par :{\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\displaystyle\int_{-1}^{1}P(x)dx}On se donne {-1\leq x_{0}\lt ...\lt x_{n}\leq 1}.
Montrer qu’il existe {(\lambda _{0},\ldots\lambda _{n})\in \mathbb{R}^{n+1}} tel que : {\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda _{k}P(x_{k})}
Réciproque de P ↦ P-P’
(Oral Mines-Ponts)
Soit {B\in \mathbb{R}[X]}.
Montrer : {\exists!\;A\in\mathbb{R}[X],A-A^{\prime}=B}.
Montrer que si {B\ge0} sur {\mathbb{R}}, alors {A} aussi.
Soit {B\in \mathbb{R}[X]}.
Montrer : {\exists!\;A\in\mathbb{R}[X],A-A^{\prime}=B}.
Montrer que si {B\ge0} sur {\mathbb{R}}, alors {A} aussi.
Majoration des racines d’un polynôme
(Oral Mines-Ponts)
Soit {P=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{0}\in \mathbb{C}[X]}.
On pose {A=|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|}.
Soit {z} une racine de {P}.
Montrer que {|z|\leq \max \{1,\ A\}}.
Soit {P=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{0}\in \mathbb{C}[X]}.
On pose {A=|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|}.
Soit {z} une racine de {P}.
Montrer que {|z|\leq \max \{1,\ A\}}.
Une décomposition en éléments simples
(Oral Mines-Ponts)
Montrer qu’il existe un unique polynôme {P_n} tel que : {P_{n}\Big(X+\dfrac{1}{X}\Big)=X^{n}+\dfrac{1}{X^{n}}}Décomposer {1/P_{n}} en éléments simples.
Montrer qu’il existe un unique polynôme {P_n} tel que : {P_{n}\Big(X+\dfrac{1}{X}\Big)=X^{n}+\dfrac{1}{X^{n}}}Décomposer {1/P_{n}} en éléments simples.
Polynômes scindés simples (ou pas)
(Oral Centrale)
Soit {P\in\mathbb{K}[X]\setminus\mathbb{K}}. Existe-t-il toujours {\lambda\in\mathbb{K}} tels que {P(X)-\lambda} soit scindé simple dans {\mathbb{K}[X]} ? (distinguer {\mathbb{K}=\mathbb{R}} puis {\mathbb{K}=\mathbb{C}}).
Soit {P\in\mathbb{K}[X]\setminus\mathbb{K}}. Existe-t-il toujours {\lambda\in\mathbb{K}} tels que {P(X)-\lambda} soit scindé simple dans {\mathbb{K}[X]} ? (distinguer {\mathbb{K}=\mathbb{R}} puis {\mathbb{K}=\mathbb{C}}).
Opérateur Delta sur les polynômes
(Oral Centrale)
Sur {\mathbb{R}_{n}[X]}, avec {n\ge1}, on pose {\Delta(P(X))=P(X+1)-P(X)}Montrer que {\Delta} est nilpotent. En déduire : {\forall\, P\in\mathbb{R}_{n-1}[X],\;\displaystyle\displaystyle\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}\binom{n}{j} P(X\!+\!j)=0}
Sur {\mathbb{R}_{n}[X]}, avec {n\ge1}, on pose {\Delta(P(X))=P(X+1)-P(X)}Montrer que {\Delta} est nilpotent. En déduire : {\forall\, P\in\mathbb{R}_{n-1}[X],\;\displaystyle\displaystyle\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}\binom{n}{j} P(X\!+\!j)=0}
Endomorphismes de ℝ[X]
On étudie ici les éléments propres de deux endomorphismes de {\mathbb{R}[X]}.
Polynômes à valeurs positives
(Oral Centrale 2018)
Soit {P\in\mathbb{C}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}}. Montrer que {P\in\mathbb{R}[X]}.
Soit {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. On pose {Q=\displaystyle\sum\limits_{k\ge0}P^{(k)}}.
Montrer que {Q(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. Réciproque?
Soit {P\in\mathbb{C}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}}. Montrer que {P\in\mathbb{R}[X]}.
Soit {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. On pose {Q=\displaystyle\sum\limits_{k\ge0}P^{(k)}}.
Montrer que {Q(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. Réciproque?
Endomorphisme de polynômes
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])} défini par {u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}.
Résoudre {nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y} sur {]-1,1[}. Diagonaliser {u}
Soit {u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])} défini par {u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}.
Résoudre {nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y} sur {]-1,1[}. Diagonaliser {u}
Matrices annulant un polynôme donné
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {P\in\mathbb{R}[X]} non constant et {n\in\mathbb{N}^{*}}.
Existe-t-il toujours {M\!\in\!\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {P(M)\!=\!0}?
Soit {P\in\mathbb{R}[X]} non constant et {n\in\mathbb{N}^{*}}.
Existe-t-il toujours {M\!\in\!\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {P(M)\!=\!0}?
Polynômes dérivés successifs
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}. À quelle condition a-t-on:
{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}
Soit {(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}. À quelle condition a-t-on:
{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}
Suites de polynômes d’Appell
(Oral Mines-Ponts 2018)
Étude des polynômes définis par : {B_{0}=1\text{\ et\ }\forall\,n\in\mathbb{N}^*,\;B_{n}'=nB_{n-1}}
Étude des polynômes définis par : {B_{0}=1\text{\ et\ }\forall\,n\in\mathbb{N}^*,\;B_{n}'=nB_{n-1}}
Inégalité PP » ≤ (P’)² si P est réel scindé
Polynômes stabilisant {z∊ℂ, |z|=1}
(Oral Mines-Ponts 2018)
On note {\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C},\;|z|=1\}}.
On note {\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C},\;|z|=1\}}.
Soit {P\in\mathbb{C}[X]}. Montrer que {P(\mathbb{U})\subset\mathbb{U}\Leftrightarrow P=aX^{n}} avec {|a|=1}
Suites polynomiales d’entiers
(Oral Centrale Mp)
Caractérisation des « suites polynomiales d’entiers »
Caractérisation des « suites polynomiales d’entiers »
Polynômes stables
(Oral Centrale Mp)
Polynômes stables
Polynômes stables
Polynômes et suite de Fibonacci
(Oral Centrale Mp)
Étude des {P_n(x)=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1-x^{F_k})}, où les {F_k} forment la suite de Fibonacci.
Étude des {P_n(x)=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1-x^{F_k})}, où les {F_k} forment la suite de Fibonacci.
Un endomorphisme symétrique de ℝn[X]
(Exercice d’oral Centrale Mp)
Étude d’un endomorphisme symétrique de ℝn[X].
Étude d’un endomorphisme symétrique de ℝn[X].
Approximants de Padé de exp(x)
(Oral Centrale Mp)
Approximants de Padé de exp(x)
Approximants de Padé de exp(x)
Déterminant et polynômes
(Oral Centrale Mp)
Soit n\in\mathbb{N}, et {P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}} pour 0\le j\le n.
On étudie la matrice des coefficients a_{n,i,j} et on calcule son déterminant.
Soit n\in\mathbb{N}, et {P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}} pour 0\le j\le n.
On étudie la matrice des coefficients a_{n,i,j} et on calcule son déterminant.
Un produit scalaire entre polynômes
(Oral Centrale Mp)
Étude de {\left(f\mid g\right)=\dfrac{2}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(c_{k})g(c_{k})}, où {c_k=\cos\Bigl(\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr)}
Étude de {\left(f\mid g\right)=\dfrac{2}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(c_{k})g(c_{k})}, où {c_k=\cos\Bigl(\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr)}
Racines du polynôme dérivé (bis)
(Oral Centrale Mp)
Comportement asymptotique des racines de {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k^2)}
Comportement asymptotique des racines de {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k^2)}
Les racines du polynôme dérivé
(Oral Centrale Mp)
Comportement asymptotique des racines de {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k)}
Comportement asymptotique des racines de {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k)}
Dans une quartique, le nombre d’or
(Oral Centrale Mp)
Le nombre d’or caché dans la sécante joignant deux inflexions d’une quartique.
Le nombre d’or caché dans la sécante joignant deux inflexions d’une quartique.
Une base de Kn[X]
(Oral Mines-Ponts)
Soient {P\in \mathbb{K}[X]}, de degré {n}, et soient {a_{0},...,a_{n}} distincts dans {\mathbb{K}}.
Montrer que les polynômes {P_j(X)=P(X+a_{j})} forment une base de {\mathbb{K}_{n}[X]}.
Soient {P\in \mathbb{K}[X]}, de degré {n}, et soient {a_{0},...,a_{n}} distincts dans {\mathbb{K}}.
Montrer que les polynômes {P_j(X)=P(X+a_{j})} forment une base de {\mathbb{K}_{n}[X]}.
Une factorisation de polynôme
(Oral Mines-Ponts)
Soit {n\in \mathbb{N}^{\ast }}. On considère le polynôme : {\begin{array}{rl}P_n&=1+2X+3X^{2}+\cdots+(n-1)X^{n-2}+nX^{n-1}\\\\&+(n-1)X^{n}+...+2X^{2n-3}+X^{2n-2}\end{array}}Trouver les racines de {P_n} et le factoriser dans {\mathbb{C}[X]}.
Soit {n\in \mathbb{N}^{\ast }}. On considère le polynôme : {\begin{array}{rl}P_n&=1+2X+3X^{2}+\cdots+(n-1)X^{n-2}+nX^{n-1}\\\\&+(n-1)X^{n}+...+2X^{2n-3}+X^{2n-2}\end{array}}Trouver les racines de {P_n} et le factoriser dans {\mathbb{C}[X]}.
Décompositions en éléments simples (2/3)
Exercices sur le thème « Décompositions en éléments simples » (2/2)
Décompositions en éléments simples (1/3)
Exercices sur le thème « Décompositions en éléments simples » (1/2)
Relations coefficients-racines (3/3)
Exercices sur le thème « Polynômes: relations coefficients-racines » (3/3)
Relations coefficients-racines (2/3)
Exercices sur le thème « Polynômes: relations coefficients-racines » (2/3)
Relations coefficients-racines (1/3)
Exercices sur le thème « Polynômes: relations coefficients-racines » (1/3)
Arithmétique des polynômes (2/2)
Exercices sur le thème « Arithmétique des polynômes » (2/2).
Arithmétique des polynômes (1/2)
Exercices sur le thème « Arithmétique des polynômes » (1/2).
Dérivation des polynômes (2/2)
Exercices sur le thème « Dérivation des polynômes » (2/2).
Dérivation des polynômes (1/2)
Exercices sur le thème « Dérivation des polynômes » (1/2).
Polynômes: divisibilité, racines (2/2)
Exercices sur le thème « Polynômes: divisibilité et racines » (2/2).