Polynômes

Exercices corrigés sur le thème « polynômes » pour les classes de Sup Mpsi Pcsi, et Spé Mp, Pc, Psi (posés aux concours Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

Une forme linéaire sur Rn[X]

(Oral Centrale)
Soit {L} la forme linéaire définie sur {E=\mathbb{R}_{n}[X]} par :{\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\displaystyle\int_{-1}^{1}P(x)dx}On se donne {-1\leq x_{0}\lt ...\lt x_{n}\leq 1}.
Montrer qu’il existe {(\lambda _{0},\ldots\lambda _{n})\in \mathbb{R}^{n+1}} tel que : {\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda _{k}P(x_{k})}

Polynômes à valeurs positives

(Oral Centrale 2018)
Soit {P\in\mathbb{C}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}}. Montrer que {P\in\mathbb{R}[X]}.
Soit {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. On pose {Q=\displaystyle\sum\limits_{k\ge0}P^{(k)}}.
Montrer que {Q(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. Réciproque?