QCM (dérivation)
Un questionnaire sur le thème « Dérivation ». Pour chacune des 19 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte.
Dérivation
QCM (continuité et dérivabilité)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 13 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « continuité et dérivabilité ».
Majoration optimale d’une intégrale
(Oral Centrale) On majore la valeur absolue de l’intégrale de {f} sur {[0,1}, où {f} décrit l’espace des fonctions de classe {\mathcal{C}^2} sur {[0,1]} et telles que {f(0)=f(1)=f'(1)=0}.
Une comparaison de moyennes
(Oral Centrale) On étudie et on compare une famille (dépendant d’un paramètre {p}) de fonctions qui réalisent une moyenne de deux réels strictement positifs.
Zéros d’un polynôme de Maclaurin
(Orale Centrale). On étudie les premières racines réelles strictement positives du polynôme de Maclaurin de la fonction sinus.
Racines de dérivées n-ièmes
(Oral Centrale) On étudie les racines des dérivées {n}-ièmes des fonctions définies par {f(x)=exp(1/(1-x^2))} et {g(x)=exp(1/(1+x^2))}.
Un exercice Rock’n’Rolle
(Oral Tpe)
Soit {P\in\mathbb{R}[X]}.
On suppose que {K=\{x\in\mathbb{R},\;P(x)=\cos x\}} est infini.
Montrer que {P} est constant.
Soit {P\in\mathbb{R}[X]}.
On suppose que {K=\{x\in\mathbb{R},\;P(x)=\cos x\}} est infini.
Montrer que {P} est constant.
Dérivées et tracés rapides
Quelques exercices de calculs de dérivées et de tracés de fonctions numériques, dans des cas simples.
Une équation fonctionnelle
(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})} telles que :
{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)}.
Déterminer les {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})} telles que :
{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)}.
Dérivée n-ième de f(x)=1/(1+e^x)
Fonctions convexes (2/2)
Exercices sur le thème « fonctions convexes » (2/2)
Fonctions convexes (1/2)
Exercices sur le thème “fonctions convexes” (1/2)
Égalités ou inégalités de Taylor
Exercices sur le thème « Égalités ou inégalités de Taylor »
Accroissements finis
Exercices sur le thème « inégalité ou égalité des accroissements finis ».
Utilisation du théorème de Rolle (2/2)
Exercices sur le thème « utilisation du théorème de Rolle » (2/2)
Utilisation du théorème de Rolle (1/2)
Exercices sur le thème « utilisation du théorème de Rolle » (1/2)
Fonction dérivée
Exercices sur le thème « fonction dérivée »
Dérivée de arcsin, arccos, arctan
Exercices sur le thème « dérivée des fonctions arcsin, arccos, arctan »
Dérivée n-ième (2/2)
Exercices sur le thème « fonction dérivée n-ième » (2/2)
Dérivée n-ième (1/2)
Exercices sur le thème « fonction dérivée n-ième » (1/2)
Dérivation et inégalités (2/2)
Exercices sur le thème « Dérivation et inégalités » (2/2)
Dérivation et inégalités (1/2)
Exercices sur le thème « Dérivation et inégalités » (1/2)
Calculs de dérivées (2/2)
Exercices sur le thème « Calculs de dérivées » (2/2)
Calculs de dérivées (1/2)
Exercices sur le thème « Calculs de dérivées » (1/2)
Racines du polynôme dérivé
Endomorphisme et dérivation
(Oral Ccp)
Soit {E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}. Soit {\Phi\,\colon f\mapsto g}, avec {g(x)=f'(x)-xf(x)}. Étudier les éléments propres de \Phi, et déterminer {\text{Ker}(\Phi^{n})}.
Soit {E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}. Soit {\Phi\,\colon f\mapsto g}, avec {g(x)=f'(x)-xf(x)}. Étudier les éléments propres de \Phi, et déterminer {\text{Ker}(\Phi^{n})}.
Théorème de Darboux
Soit {f} une application dérivable sur {[a,b]}.
Montrer que {f'} prend toutes les valeurs comprises entre {f'(a)} et {f'(b).\quad}
Montrer que {f'} prend toutes les valeurs comprises entre {f'(a)} et {f'(b).\quad}
Polynômes et dérivations
(oral Centrale)
Soient {P\in\mathbb{R}[X]} et {Q=\displaystyle\sum_{k\ge0}P^{(k)}}.
Montrer que si {P} est sans racine réelle alors {Q} aussi.
Soient {P\in\mathbb{R}[X]} et {Q=\displaystyle\sum_{k\ge0}P^{(k)}}.
Montrer que si {P} est sans racine réelle alors {Q} aussi.
Une équation fonctionnelle
(oral Mines-Ponts)
Trouver les {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} dérivables en 0 telles que:
{\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2},\;{f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)\quad(\star)}
Trouver les {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} dérivables en 0 telles que:
{\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2},\;{f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)\quad(\star)}