Concours Inp
Exercices corrigés de mathématiques posés à l’oral des écoles d’ingénieurs du « Concours Commun Polytechniques » (ou encore INP)

Une moyenne de distances

(Oral CCInp)
Soit

{A}

un sommet d’un polygône régulier convexe

{\mathcal{P}_n}

{n}

sommets, de centre

{\Omega}

.
On note

{R=d(\Omega,A)}

. Calculer la moyenne

{M_n}

des distances de

{A}

aux autres sommets de

{\mathcal{P}_n}

➡️

Suite implicite et série

(Oral Inp)
Pour

{n\ge2}

, on pose

{f_{n}(x)=\text{e}^{x}+x-n}

.
Montrer que :

{\exists!\,u_{n}\in\mathbb{R},\;f_{n}(u_{n})=0}

.
Déterminer un équivalent de

{u_{n}}

.
on pose

{v_{n}=u_{n}-a\ln(n)-\dfrac{b}{n}\ln(n)}

.
Trouver

{a,b}

tels que

{\displaystyle\sum v_{n}}

converge.

➡️

Séries (plus ou moins) alternées

Six exercices sur le thème des séries numériques (plus ou moins) alternées.

➡️

Une série de produits

(Oral Ccp)
Soit

{(a_{n})_{n\geq 1}}

une suite de

{\mathbb{R}^+}

.
On pose :

{u_{n}=\dfrac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right) \ldots \left(1+a_{n}\right)}}

Calculer

{u_{1}+u_{2}}

, et généraliser.
Montrer que la série

{\displaystyle\sum_{n\ge1}u_{n}}

converge.
Calculer

{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_{n}}

quand

{a_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}}

➡️

Nature de séries avec paramètres

Six exercices où il est question de déterminer la nature d’une série dont le terme général dépend de un ou deux paramètres.

➡️

Suites récurrentes et séries

Cinq exercices sur le thème « suites récurrentes et séries ». On étudie des séries numériques liées à une suite définie par une récurrence

{u_{n+1}=f(u_n)}

➡️

Des séries à somme entière

(Oral Ccp)
Pour

{p\in\mathbb{N}}

, justifier l’existence de

{S_{p}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n^{p}}{2^{n}}}

.
Exprimer

{S_{p}}

en fonction de

{S_{0},\ldots,S_{p-1}}

.
Montrer que :

{\forall\,p\in\mathbb{N},\;S_{p}\in\mathbb{N}}

➡️

Encore une série d’intégrales

(Oral Ccp)
On pose

{u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}x^{n}\sin (\pi x)\,\text{d}x}

.
Étudier la convergence de

{\displaystyle\sum_{n\ge0} u_{n}}

.
Montrer que :

{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi }\dfrac{\sin t}{t}dt}

➡️

Calcul de la limite d’une somme de….

(Oral Tpe)
On pose

{u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{n}{k^{2}}e^{-n/k}}

.
Déterminer la limite de

{u_n}

quand

{n\to+\infty }

➡️

Encore un système différentiel

(Oral CCInp)
Résoudre le système :

{(S)\ \begin{cases}x'=3x+y\\y'=2x-y\\z'=-4x-8y+2z\end{cases}}

➡️

Série alternée d’intégrales

(Oral CCInp)
On note la fonction

{\Gamma :x\mapsto \displaystyle\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,\text{d}t}

.
On pose

{u_{n}=\displaystyle\int_{n}^{n+1}\!\!\!\ln\Gamma(x)\,\text{d}x}

.
Préciser la nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n}}{u_{n}}}

➡️

Existence d’une intégrale généralisée

(Oral CCInp)
L’intégrale

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\cos(\text{e}^{t})\,\text{d}t}

a-t-elle un sens?

➡️

Série d’intégrales

(Oral CCInp)
On pose

{a_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\Big(\dfrac{1+t^{2}}{2}\Big)^{n}dt}

.
Montrer :

{\displaystyle\sum (-1)^{n}a_{n}}

converge et

{\displaystyle\sum a_{n}}

diverge.
Calculer la somme

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}}

➡️

Une série alternée d’intégrales

(Oral CCInp)
Pour tout

{n\in\mathbb{N}}

, on pose

{u_{n}=(-1)^{n}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}t\,\text{d}t}

Nature et somme de la série de terme général

{u_n}

?
Nature de la série

{\displaystyle\sum_{n\ge0}|u_n|}

➡️

Une série d’intégrales

(Oral CCInp)
On définit, pour

{n\in \mathbb{N}}

{u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}\,{\rm d}x}{1+x+\cdots +x^{n}}}

Déterminer la limite de

{u_{n}}

lorsque

{n}

{+\infty }

.
Déterminer la nature de

{\displaystyle\displaystyle\sum u_{n}}

➡️

Projection orthogonale sur un plan

Soit

{\mathbb{R}^{3}}

euclidien, muni de la base canonique.
Soit

{P}

le plan vectoriel orthogonal à

{n=(1,1,1)}

.
Donner la matrice

{A}

de la projection orthogonale

{\pi}

sur

{P}

➡️

Convergence faible

(Oral CCInp)
Soit

{E}

un espace préhilbertien réel.
On dit qu’une suite

{(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}}

de vecteurs de

{E}

converge faiblement vers

{x\in E}

si :

{\forall y\in E,\;\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(x_{n}-x\mid y) =0}

On suppose que

{E}

est de dimension finie.
Montrer que

{(x_{n})}

converge faiblement vers

{x}

si et seulement si

{\lim\limits_{n\rightarrow+\infty }||x_{n}-x||=0}

.
Montrer que c’est faux en dimension infinie.

➡️

Conditions de diagonalisabilité (ou pas)

(Oral CCInp)
Soit

{f\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})}

, avec

{n\ge2}

.
On suppose

{f^{4}= f^{2}}

, et

{(\star)\;\{-1,1\}\subset\text{Sp}(f)}

.
L’endomorphisme

{f}

est-il nécessairement diagonalisable?
Et en remplaçant

{(\star)}

par

{\text{Ker}\,f=\text{Ker}\,f^{2}}

➡️

Sur les matrices de rang 1

(Oral CCInp)
Soit

{H\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}

, de rang

{1}

, de trace

{\delta}

.
Montrer que

{H^{2}=\delta H}

. Préciser

{\chi_H}

.
Si

{H+I_{n}}

est inversible, calculer

{(H+I_{n})^{-1}}

➡️

Endomorphisme de suites

(Oral CCinp)
Soit

{f\in{\mathcal L}(\mathbb{C}^{\mathbb{N}})}

définie par

{f(u)=v}

où

{\begin{cases}v_{0}=u_{0}\\\forall\,n\in\mathbb{N},\,v_{n+1}=\dfrac{u_{n}+u_{n+1}}2\end{cases}}

Donner les éléments propres de

{f}

➡️