INP
Exercices corrigés donnés au concours « INP »

Une moyenne de distances

(Oral CCInp)
Soit

{A}

un sommet d’un polygône régulier convexe

{\mathcal{P}_n}

{n}

sommets, de centre

{\Omega}

.
On note

{R=d(\Omega,A)}

. Calculer la moyenne

{M_n}

des distances de

{A}

aux autres sommets de

{\mathcal{P}_n}

➡️

Suite implicite et série

(Oral Inp)
Pour

{n\ge2}

, on pose

{f_{n}(x)=\text{e}^{x}+x-n}

.
Montrer que :

{\exists!\,u_{n}\in\mathbb{R},\;f_{n}(u_{n})=0}

.
Déterminer un équivalent de

{u_{n}}

.
on pose

{v_{n}=u_{n}-a\ln(n)-\dfrac{b}{n}\ln(n)}

.
Trouver

{a,b}

tels que

{\displaystyle\sum v_{n}}

converge.

➡️

Séries (plus ou moins) alternées

Six exercices sur le thème des séries numériques (plus ou moins) alternées.

➡️

Une série de produits

(Oral Ccp)
Soit

{(a_{n})_{n\geq 1}}

une suite de

{\mathbb{R}^+}

.
On pose :

{u_{n}=\dfrac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right) \ldots \left(1+a_{n}\right)}}

Calculer

{u_{1}+u_{2}}

, et généraliser.
Montrer que la série

{\displaystyle\sum_{n\ge1}u_{n}}

converge.
Calculer

{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_{n}}

quand

{a_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}}

➡️

Nature de séries avec paramètres

Six exercices où il est question de déterminer la nature d’une série dont le terme général dépend de un ou deux paramètres.

➡️

Suites récurrentes et séries

Cinq exercices sur le thème « suites récurrentes et séries ». On étudie des séries numériques liées à une suite définie par une récurrence

{u_{n+1}=f(u_n)}

➡️

Des séries à somme entière

(Oral Ccp)
Pour

{p\in\mathbb{N}}

, justifier l’existence de

{S_{p}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n^{p}}{2^{n}}}

.
Exprimer

{S_{p}}

en fonction de

{S_{0},\ldots,S_{p-1}}

.
Montrer que :

{\forall\,p\in\mathbb{N},\;S_{p}\in\mathbb{N}}

➡️

Encore une série d’intégrales

(Oral Ccp)
On pose

{u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}x^{n}\sin (\pi x)\,\text{d}x}

.
Étudier la convergence de

{\displaystyle\sum_{n\ge0} u_{n}}

.
Montrer que :

{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi }\dfrac{\sin t}{t}dt}

➡️

Calcul de la limite d’une somme de….

(Oral Tpe)
On pose

{u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{n}{k^{2}}e^{-n/k}}

.
Déterminer la limite de

{u_n}

quand

{n\to+\infty }

➡️

Encore un système différentiel

(Oral CCInp)
Résoudre le système :

{(S)\ \begin{cases}x'=3x+y\\y'=2x-y\\z'=-4x-8y+2z\end{cases}}

➡️

Série alternée d’intégrales

(Oral CCInp)
On note la fonction

{\Gamma :x\mapsto \displaystyle\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,\text{d}t}

.
On pose

{u_{n}=\displaystyle\int_{n}^{n+1}\!\!\!\ln\Gamma(x)\,\text{d}x}

.
Préciser la nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n}}{u_{n}}}

➡️

Existence d’une intégrale généralisée

(Oral CCInp)
L’intégrale

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\cos(\text{e}^{t})\,\text{d}t}

a-t-elle un sens?

➡️

Série d’intégrales

(Oral CCInp)
On pose

{a_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\Big(\dfrac{1+t^{2}}{2}\Big)^{n}dt}

.
Montrer :

{\displaystyle\sum (-1)^{n}a_{n}}

converge et

{\displaystyle\sum a_{n}}

diverge.
Calculer la somme

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}}

➡️

Une série alternée d’intégrales

(Oral CCInp)
Pour tout

{n\in\mathbb{N}}

, on pose

{u_{n}=(-1)^{n}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}t\,\text{d}t}

Nature et somme de la série de terme général

{u_n}

?
Nature de la série

{\displaystyle\sum_{n\ge0}|u_n|}

➡️

Une série d’intégrales

(Oral CCInp)
On définit, pour

{n\in \mathbb{N}}

{u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}\,{\rm d}x}{1+x+\cdots +x^{n}}}

Déterminer la limite de

{u_{n}}

lorsque

{n}

{+\infty }

.
Déterminer la nature de

{\displaystyle\displaystyle\sum u_{n}}

➡️

Projection orthogonale sur un plan

Soit

{\mathbb{R}^{3}}

euclidien, muni de la base canonique.
Soit

{P}

le plan vectoriel orthogonal à

{n=(1,1,1)}

.
Donner la matrice

{A}

de la projection orthogonale

{\pi}

sur

{P}

➡️

Convergence faible

(Oral CCInp)
Soit

{E}

un espace préhilbertien réel.
On dit qu’une suite

{(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}}

de vecteurs de

{E}

converge faiblement vers

{x\in E}

si :

{\forall y\in E,\;\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(x_{n}-x\mid y) =0}

On suppose que

{E}

est de dimension finie.
Montrer que

{(x_{n})}

converge faiblement vers

{x}

si et seulement si

{\lim\limits_{n\rightarrow+\infty }||x_{n}-x||=0}

.
Montrer que c’est faux en dimension infinie.

➡️

Conditions de diagonalisabilité (ou pas)

(Oral CCInp)
Soit

{f\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})}

, avec

{n\ge2}

.
On suppose

{f^{4}= f^{2}}

, et

{(\star)\;\{-1,1\}\subset\text{Sp}(f)}

.
L’endomorphisme

{f}

est-il nécessairement diagonalisable?
Et en remplaçant

{(\star)}

par

{\text{Ker}\,f=\text{Ker}\,f^{2}}

➡️

Sur les matrices de rang 1

(Oral CCInp)
Soit

{H\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}

, de rang

{1}

, de trace

{\delta}

.
Montrer que

{H^{2}=\delta H}

. Préciser

{\chi_H}

.
Si

{H+I_{n}}

est inversible, calculer

{(H+I_{n})^{-1}}

➡️

Endomorphisme de suites

(Oral CCinp)
Soit

{f\in{\mathcal L}(\mathbb{C}^{\mathbb{N}})}

définie par

{f(u)=v}

où

{\begin{cases}v_{0}=u_{0}\\\forall\,n\in\mathbb{N},\,v_{n+1}=\dfrac{u_{n}+u_{n+1}}2\end{cases}}

Donner les éléments propres de

{f}

➡️

Racines carrées d’une matrice

(Oral CCInp)
On détermine les racines carrées de

{A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}}

➡️

Série définie implicitement

(Oral Ccp)
On pose

{u_0\in\mathbb{R}}

et :

{\forall\, n\ge1,\;u_{n}=\dfrac{\text{e}^{-u_{n-1}}}{n}}

.
Nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge0} u_n}

{\displaystyle\sum_{n\ge0}(-1)^n u_n}

➡️

Une famille de matrices 3×3

(Oral Ccp)
On étudie la famille des matrices

M(a)=

{\begin{pmatrix}1-2a & a & a \\ a & 1-2a & a \\ a & a & 1-2a \end{pmatrix}}

➡️

Équation matricielle M² + M^T = I_n

(Oral Ccp)
Soit

{M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

vérifiant

{M^{2}+{M}^{\top}=I_{n}}

.
1. Montrer que

{M}

est diagonalisable.
2. Montrer que

{M}

est inversible si et seulement si 1 n’est pas valeur propre de

{M}

➡️

Un polynôme scindé simple

(oral Ccp)
Montrer que

{P_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{X^{k}}{k!}}

n’a que des racines simples.

➡️

Polynômes et divisibilité

(oral Ccp)
Trouver les polynômes

{A}

tels que

{(X\!-\!1)^{4}\mid A\!+\!1}

{(X\!+\!1)^{4}\mid A\!-\!1}

➡️

Zéros terminaux de n!

(oral Ccp 2013)
Déterminer le nombre de zéros terminant l’écriture décimale de 2013!

➡️

Série entière, équation différentielle

(Oral Ccp et Mines-Ponts)
Rayon et somme de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{\binom{2n}{n}} x^n}

➡️

Une série de fonctions alternée

(Oral Ccp)
Convergence (simple, uniforme) et limite en

0^+

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{x}\ln\left (1+\dfrac{x}{n}\right )}

➡️

Un système différentiel

(Oral Ccp)
Résoudre

{X'=AX}

où

{A=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-3&4&-1\\ -2&0&2\\3&-12&9\end{pmatrix}}

➡️

Variations d’une série de fonctions

(Oral CCinp et Mines-Ponts)
On pose

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(nx+1)}}

.
Dérivabilité de

{f}

, et équivalent en

{0}

et en

+\infty

➡️

Continuité d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Convergence et continuité de

{\displaystyle\sum \dfrac{1}{1+e^{nx}}}

➡️

Deux isométries de l’espace

(Oral Ccp)
Identifier

{\dfrac13\begin{pmatrix} 1&-2&2\\ -2&1&2\\ 2&2&1\end{pmatrix}}

{\dfrac19\begin{pmatrix}8&1&-4\\-4&4&-7\\1&8&4\end{pmatrix}}

➡️

Matrice de projection orthogonale

Matrice de la projection orthogonale de

{\mathbb{R}^{4}}

sur

{F:\begin{cases}x+y+z+t=0\\x-y+z-t=0\end{cases}}

➡️

Récurrence vectorielle

(Oral Ccp)
On étudie une récurrence vectorielle

U_{n+1}=AU_{n}

en diagonalisant la matrice

A

➡️

Deux suites adjacentes

(oral Ccp)
Montrer que

{n\mapsto 2\sqrt{n}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt k}}

{n\mapsto 2\sqrt{n\!+\!1}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt k}}

sont adjacentes.

➡️

Équivalent d’une somme

(oral Ccp)
Trouver la constante

K

telle que

{S_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{\sqrt k}\stackrel{n\rightarrow+\infty}{\sim}K\sqrt{n}}

➡️

Sommes harmoniques et séries

(Oral Ccp)
On calcule

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}}

, où

{u_{n}=\dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}}}

➡️

Deux sommes de séries numériques

(Oral Ccp)
Calculer

{\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(1+\dfrac{2}{n(n\!+\!3)}\Bigr)}

, et

{\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(\cos\Bigl(\dfrac{x}{2^{n}}\Bigr)\Bigr)}

pour

{-\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}}

➡️

Équivalents et séries numériques

(Oral Ccp)
Équivalent de

{v_{n}=\displaystyle\sum_{q=n}^{+\infty}\dfrac{1}{q^{\alpha}}}

, puis nature de

{\displaystyle\sum \dfrac{v_{n^{2}}}{v_{n}}}

➡️

Dérivabilité d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Convergence et caractère

{{\mathcal C}^1}

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{1}{1+(nt)^2}}

➡️

Suite puis série de fonctions

Étudier la suite puis la série des

{h_{n}(x)=x^{2n+1}\ln(x)}

➡️

Série de fonctions, étude aux bornes

(Oral Ccp)
Pour

{|a|\lt1}

x\gt0

, étudier

{S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a^{n}}{n+x}}

, notamment en

0^+

+\infty

➡️

Une somme de série entière

(Oral Ccp)
Rayon et somme de

{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n}}

, où

{a_{n}=(n\!\!\mod\!3)+1}

➡️

Un système linéaire

(oral Ccp)
Résoudre

{\begin{cases} x+y+z=1\\\alpha x+\beta y+\gamma z=1\\\alpha^{2}x +\beta^{2}y +\gamma^{2}z =1\end{cases}\!\!\!}

où

{\alpha, \beta,\gamma}

sont les racines de

{X^{3}+X+1}

➡️

Racines du polynôme dérivé

(oral Ccp)
Montrer que si

P

est scindé dans

\mathbb{R}[X]

, alors

P'

l’est aussi.

➡️

Déterminant et racines d’un polynôme

(Oral Ccp)
On calcule un déterminant d’ordre

n

dont les coefficients diagonaux sont fonctions des racines (toutes distinctes) du polynôme

{P_{n}=X^{n}-X+1}

➡️

Diagonalisation d’une matrice en zig-zag

(Oral Ccp)
Diagonaliser la matrice (d’ordre

2n

) :

{A_n=}

{\begin{pmatrix}1 & 2n & 1 & \cdots & 2n \\ 2 & 2n-1 & 2 & \cdots & 2n-1 \\ 3 & 2n-2 & 3 & \cdots & 2n-2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 2n & 1 & 2n & \cdots & 1\end{pmatrix}}

➡️

Une récurrence linéaire d’ordre 3

(Oral Ccp)
Étude des suites de

\mathbb{C}^{\mathbb{N}}

telles que

\forall\, n\in\mathbb{N},\;4u_{n+3}=3u_{n+2}+6u_{n+1}+4u_{n}

➡️

Diagonalisation et blocs

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n+1}(\mathbb{C})}

où

{\begin{cases}a_{i,1}=a_{1,i}=\delta_{i-1}\text{\ si\ }2\le i\le n+1\\a_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}

Déterminer

{\text{rg}(A)}

{\text{rg}(A^{2})}

. La matrice

{A}

est-elle diagonalisable?

➡️