Entiers premiers et Python
Quelques exercices de programmation Python sur le thème Arithmétique et nombres premiers.
Arithmétique
Arithmétique avec Python
Quelques exercices d’arithmétique (pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide, coefficients de Bezout) avec Python.
Triplets rectangulaires
(Oral Centrale) On s’intéresse aux triplets {(x,y,z)} d’entiers premiers entre eux dans leur ensemble et tels que {x^2+y^2=z^2}. On voit une méthode matricielle pour générer un nombre quelconque de solutions.
Points entiers sur une hyperbole
(Oral Centrale). On se propose de déterminer tous les points à coordonnées entières sur l’hyperbole d’équation {x^2-3y^2=1}. On procède pour cela par itération matricielle à partir de la solution évidente {(1,0)}.
Inégalités à la Tchebychev
(Oral Centrale) Dans cet exercice d’arithmétique, on établit un encadrement du nombre d’entiers premiers inférieurs ou égaux à un entier n donné.
Égalités de coefficients binomiaux
(Oral Centrale) Dans cet exercice d’arithmétique, on résout certains cas de répétitions de coefficients binomiaux dans le triangle de Pascal.
Suite de Fibonacci modulo 41
(Oral Centrale) Dans cet exercice d’arithmétique, on montre entre autres choses que, modulo 41, la suite de Fibonacci est périodique de période 40.
Facteurs premiers des an-1
(Oral Centrale) On montre que si {a-1} et {a^n-1} ont les mêmes facteurs premiers, alors {n=2} et {a} est un nombre de Mersenne (et la réciproque est vraie).
Suite récurrente et arithmétique
(Oral Centrale). On relie une suite récurrente d’ordre 5 à la trace des puissances d’une matrice. On en déduit une propriété arithmétique de cette suite.
Irréductibilité des polynômes de Tchebychev
(Oral Centrale). Dans cet exercice, on étudie les propriétés d’irréductibilité dans {\mathbb{Z}[X]} des polynômes de Tchebychev.
Unitaires de ℤ[X] à racines dans D(0,1)
(Oral Centrale) On étudie l’ensemble des polynômes unitaires de {\mathbb{Z}[X]}, à racines dans le disque unité. Parmi eux, les polynômes cyclotomiques.
Une simple curiosité
(Oral Mines-Ponts 2018)
On observe les égalités: {9\times 1+2=11,\;9\times12+3=111,\;9\times 123+4=1111}Quelle généralisation peut-on imaginer ? Démontrer cette conjecture.
On observe les égalités: {9\times 1+2=11,\;9\times12+3=111,\;9\times 123+4=1111}Quelle généralisation peut-on imaginer ? Démontrer cette conjecture.
Test de Lucas-Lehmer
(Oral Centrale Mp)
Condition suffisante du test de Lucas-Lehmer.
Condition suffisante du test de Lucas-Lehmer.
Points entiers sur une cubique
(Oral Centrale Mp)
Points à coordonnées entières sur la cubique x^3+y^3=a ( a entier >0)
Points à coordonnées entières sur la cubique x^3+y^3=a ( a entier >0)
La suite de Perrin
(Oral Centrale Mp)
La suite de Perrin
La suite de Perrin
Déterminant de la matrice des ppcm(i,j)
(Oral Centrale Mp)
La matrice M des ppcm(i,j). Décomposition puis déterminant de M.
La matrice M des ppcm(i,j). Décomposition puis déterminant de M.
Déterminant de la matrice des pgcd(i,j)
Calculs dans ℤ/nℤ
Exercices sur le thème « Calculs dans ℤ/nℤ ».
Nombres premiers (2/2)
Exercices sur le thème « nombres premiers » (2/2)
Nombres premiers (1/2)
Exercices sur le thème « nombres premiers » (1/2)