Concours Centrale

Exercices corrigés

Le centre d’appels téléphoniques

(Oral Mines-Ponts et Centrale)
Un centre d’appel doit contacter {n} clients.
Chacun décroche avec une probabilité {p\in ]0,1[}.
Dans une 1ère vague d’appels, {X_{1}} clients décrochent.
Soit {X_{2}} le nombre de clients qui ne décrochent qu’à la deuxième vague, etc.
{X_{1},X_{2}} sont-elles indépendantes ? Quelle est la loi de {X_k}?
Quelle est la loi du numéro {Y_{i}} de la vague d’appels à laquelle le i-ème client décroche enfin?

Série et sommes partielles

(Oral Centrale)
Soit {\left(u_{n}\right)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}}, et {\alpha\gt0}.
On suppose que {n\mapsto S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}} diverge.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge}\dfrac{u_{n}}{S_{n}^{\alpha}}} converge {\Leftrightarrow\alpha >1}.

On suppose {\displaystyle\lim_{\infty}S_{n}=S\gt0}. Soit {R_{n}=S-S_{n}}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{u_{n}}{R_{n}^{\alpha-1}}} converge {\Leftrightarrow \alpha \lt 1}.