Exercice (oral Centrale/Supélec)
On pose {f_{n}(x,y)=\dfrac{\cos nx-\cos ny}{\cos x-\cos y}}.
On note alors : {J_{n}(y)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\!\!f_{n}(x,y)\,\text{d}x}.
| Question 1 Prouver que l’application {f_{n}} se prolonge en une application continue sur {\mathbb{R}^{2}}. Cela assure l’existence des intégrales {J_{n}(y)}, pour tout {y} de {\mathbb{R}}. |
| Question 2 Trouver une relation entre {J_{n+1}(y)}, {J_{n-1}(y)} et {J_{n}(y)}, valable pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}}. |
| Question 3 En déduire l’expression de {J_{n}(y)}. |