Entiers premiers et Python
Quelques exercices de programmation Python sur le thème Arithmétique et nombres premiers.
Sup
Arithmétique avec Python
Quelques exercices d’arithmétique (pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide, coefficients de Bezout) avec Python.
Un calcul de primitive
Dans cet exercice, on calcule les primitives de fonctions exp(ax)cos(bx) et exp(ax)sin(bx), en ayant recours à l’exponentielle complexe.
Étude d’une intégrale complexe
Dans cet exercice, on détermine les primitives de f(x)=1/(x-w), où w est un nombre complexe non réel, et on met en garde contre une erreur à ne pas commettre.
Calculs de primitives (2/2)
Exercices sur le thème « calculs de primitives » (2/2)
Une construction géométrique
On propose une construction géométrique, à la règle et au compas, de l’inverse d’un nombre complexe.
Inversion d’une matrice de Hilbert
Dans cet exercice, on inverse une matrice de Hilbert par la méthode du pivot de Gauss. On reprend ensuite les calculs à l’aide de Python.
Une suite implicite
Recherche d’asymptote
On étudie l’existence d’une asymptote à la courbe représentative d’une fonction (dépendant d’un paramètre) au voisinage de l’infini, et le placement par rapport à cette asymptote.
Développements asymptotiques
Cinq exercices de calculs de développements asymptotiques
Décompositions en éléments simples (3/3)
6 exercices corrigés sur la décomposition en éléments simples.
QCM (géométrie)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 12 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Géométrie ».
QCM (matrices)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 9 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Matrices ».
QCM (algèbre linéaire)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 19 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Algèbre linéaire ».
QCM (intégration)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 8 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Intégration ».
QCM (fonctions usuelles)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 14 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Fonctions usuelles ».
QCM (suites numériques)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 9 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Suites numériques ».
QCM (continuité et dérivabilité)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 13 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « continuité et dérivabilité ».
QCM (polynômes)
Un questionnaire à choix unique (à chacune des 9 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Polynômes ».
QCM (réels et complexes)
Un questionnaire à choix unique (à chacune des 8 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « nombres réels et complexes ».
QCM (algèbre générale)
Un questionnaire à choix unique (à chacune des 8 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « algèbre générale »
Contrôle (équations différentielles)
Un contrôle sur les équations différentielles linéaires d’ordre 1 ou 2. On demande l’expression de la solution générale et l’intervalle de résolution.
Quiz (fonctions usuelles)
Un Quiz de 19 questions sur le thème « Fonctions usuelles » (logarithme, exponentielle, fonctions hyperboliques).
Quiz (fonctions trigo inverses)
Un Quiz de 18 questions sur le thème « Fonctions trigonométriques inverses » (arcsin, arccos et arctan).
Quiz (calculs de primitives)
Un Quiz de 15 questions sur les calculs de primitives de fonctions d’une variable réelle.
Contrôle (développements limités)
Un contrôle de cours (17 questions) portant sur les développements limités usuels.
Quiz (limites de fonctions)
Un Quiz de 19 questions sur les calculs de limites de fonctions d’une variable réelle.
Vrai/Faux (suites numériques)
Un Vrai/Faux (17 questions) portant sur les suites numériques (convergence, suites extraites, calculs de limite, suites bornées, etc.)
Vrai/Faux (trigonométrie)
Un Vrai/Faux (17 questions) portant sur la trigonométrie (égalités et inégalités, linéarisation, formules diverses)
Vrai/Faux (nombres complexes)
Un Vrai/Faux (17 questions) portant sur les nombres complexes (partie réelle ou imaginaire, module, argument, racines de l’unité, etc.)
Vrai/Faux (nombres réels)
Un Vrai/Faux (17 questions) portant sur les nombres réels (rationnels et irrationnels, borne sup, partie entière, etc.)
Vrai/Faux (injections, surjections)
Un Vrai/Faux de 20 questions sur le thème des composées d’applications injectives, surjectives ou bijectives.
Quiz (implications et équivalences)
Un Quiz de 10 questions où il s’agit de dire les liens logiques éventuels (implication, équivalence) qui existent entre deux propositions mathématiques données.
Quiz (négation et quantificateurs)
Un Quiz de 10 questions où il faut interpréter des propositions exprimées dans le langage courant, et écrire leur négation en langage mathématique avec des quantificateurs.
Quiz (quantification) 2
Un autre quiz de 10 questions où il faut traduire des propositions mathématiques exprimées en langage courant en leur équivalent avec des quantificateurs.
Vrai/Faux (logique élémentaire)
Un Vrai/Faux de 10 questions de logique élémentaire, sur le thème des conditions nécessaires ou suffisantes, et des équivalences logiques.
Quiz (dé-quantification)
Un Quiz de 10 questions où il s’agit d’interpréter des expressions mathématiques (avec quantificateurs) et de les traduire en langage courant.
Quiz (quantification)
Un Quiz de 10 questions où il s’agit de traduire des propositions mathématiques (exprimées en langage courant) en des expressions avec quantificateurs.
Vrai/Faux (ensembles et inclusions)
Un Vrai/Faux de 10 questions sur le thème « Ensembles et inclusions ».
Suite d’intégrales trigonométriques
(Orale Centrale) On calcule les intégrales {J_n(y)=\displaystyle\int_0^\pi\dfrac{\cos nx-\cos ny}{\cos x-\cos y}\text{d}x}
Majoration optimale d’une intégrale
(Oral Centrale) On majore la valeur absolue de l’intégrale de {f} sur {[0,1}, où {f} décrit l’espace des fonctions de classe {\mathcal{C}^2} sur {[0,1]} et telles que {f(0)=f(1)=f'(1)=0}.
Une récurrence linéaire d’ordre 2
(Oral Centrale) On étudie les suites {u} satisfaisant à une certaine récurrence linéaire d’ordre 2 à coefficients non constants (monotonie, domination puis équivalent en {+\infty}).
Étude d’une suite récurrente d’ordre 1
(Oral Centrale) On étudie les suites définies par la relation {u_{n+1}=f(u_n)}, où {f(x)=x+\ln x}. Dans le cas particulier {u_0=2}, on trouve un équivalent de {u_n}.
Équivalent dans une récurrence de pas 2
(Oral Centrale) On considère une suite {(x_n)} définie par une récurrence (non linéaire) de pas 2. Par l’utilisation d’une suite auxiliaire, on calcule un équivalent de {x_n}.
Ordre minimal d’une récurrence linéaire
(Oral Centrale) Si la suite {u} vérifie une récurrence linéaire d’ordre {p}, on étudie l’ordre minimal {r} d’une récurrence linéaire que pourrait vérifier {u}.
Développement d’une racine d’un polynôme
(Oral Centrale) On montre que la solution positive de {x^n=x+1} a un développement à tout ordre en {1/n}, et on calcule explicitement ce développement à la précision {1/n^3}.
Une comparaison de moyennes
(Oral Centrale) On étudie et on compare une famille (dépendant d’un paramètre {p}) de fonctions qui réalisent une moyenne de deux réels strictement positifs.
Une approximation de π
(Oral Centrale) On définit deux suites récurrentes {(a_n)} et {(b_n)}, puis une troisième suite {(c_n)} qui en dépend. Par des calculs asymptotiques, on voit que la suite {(c_n)}converge très rapidement vers π.
Système à diagonale dominante
(Oral Centrale) On considère des systèmes linéaires {AX=B}, où la matrice {A} est « à diagonale dominante ». On voit comment approcher l’unique solution par des itérations successives. On termine par une application numétique.
Minimiser une forme quadratique sur ℤxℤ
(Oral Centrale) On considère la forme quadratique {q(x,y)=rx^2+2sxy+ty^2}, avec {rt-s^2=3/4}, et on montre qu’il existe {(x,y)\in\mathbb{Z}^2} tel que {|q(x,y)|\le 1}.