Vrai/Faux (injections, surjections)

Voici un Vrai/Faux de 17 affirmations sur le thème « Applications injectives et/ou surjectivs ».

Dans toutes les questions, ${f}$ et ${g}$ désignent des applications quelconques d’un ensemble ${E}$ quelconque dans lui-même.

À chaque affirmation, on répond par « Vrai » si elle est « tout le temps vraie », et par Faux… sinon! On ne répond pas au hasard! On saura dire pourquoi une propriété est vraie, ou alors trouver un contre-exemple si elle est fausse.

{g\circ f}

est bijective alors

{f\circ g}

est bijective

Vrai? Faux?

C’est faux, avec par exemple

{E=\mathbb{N},\;f(n)=2n\;\text{et}\;g(n)=\begin{cases}n/2\;\text{si}\;n\;\text{pair}\\0\;\text{si}\;n\;\text{impair}\end{cases}}

{g\circ f}

{f\circ g}

sont bijectives, alors

{f}

{g}

sont bijectives

Vrai? Faux?

C’est vrai, et c’est une conséquence de

{\begin{cases}\varphi\circ\psi\;\text{injective}\Rightarrow\psi\;\text{injective}\\\varphi\circ\psi\;\text{surjective}\Rightarrow\varphi\;\text{surjective}\end{cases}}

{g\circ f}

est injective et

{f}

est injective, alors

{g}

est injective

Vrai? Faux?

C’est faux. De toutes façons l’injectivité de

{g\circ f}

implique celle de

{f}

.
Prendre le même contre-exemple que dans la question 1.
L’injectivité de

{g\circ f}

nous dit simplement que

{g}

est injective sur

{f(E)}

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