Vrai/Faux (injections, surjections)

Voici un Vrai/Faux de 17 affirmations sur le thème « Applications injectives et/ou surjectivs ».

Dans toutes les questions, {f} et {g} désignent des applications quelconques d’un ensemble {E} quelconque dans lui-même.

À chaque affirmation, on répond par « Vrai » si elle est « tout le temps vraie », et par Faux… sinon! On ne répond pas au hasard! On saura dire pourquoi une propriété est vraie, ou alors trouver un contre-exemple si elle est fausse.


Si {g\circ f} est bijective alors {f\circ g} est bijective
Vrai? Faux?
C’est faux, avec par exemple {E=\mathbb{N},\;f(n)=2n\;\text{et}\;g(n)=\begin{cases}n/2\;\text{si}\;n\;\text{pair}\\0\;\text{si}\;n\;\text{impair}\end{cases}}

Si {g\circ f} et {f\circ g} sont bijectives, alors {f} et {g} sont bijectives
Vrai? Faux?
C’est vrai, et c’est une conséquence de {\begin{cases}\varphi\circ\psi\;\text{injective}\Rightarrow\psi\;\text{injective}\\\varphi\circ\psi\;\text{surjective}\Rightarrow\varphi\;\text{surjective}\end{cases}}

Si {g\circ f} est injective et {f} est injective, alors {g} est injective
Vrai? Faux?
C’est faux. De toutes façons l’injectivité de {g\circ f} implique celle de {f}.
Prendre le même contre-exemple que dans la question 1.
L’injectivité de {g\circ f} nous dit simplement que {g} est injective sur {f(E)}.

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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.