Voici les problèmes d’algèbre que j’ai donnés, au fil des années, en DM ou en DS, dans ma classe de MPSI du lycée Saint-Louis. Vu le grand nombre de devoirs mis en ligne sur ce site, j’ai opté pour une distinction « Algèbre/Analyse » qui est une simple commodité de classement.
Problèmes, par thème
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Raisonnements, calculs algébriques
Un peu de logiqueCe sujet est constitué de deux exercices, et il prend place en tout début d'année, au moment où on aborde les questions de rédaction et de logique.
Le premier exercice est une bonne (et amusante) introduction à l'utilisation des quantificateurs en logique propositionnelle.
Le second exercice traite de la simplification de propositions logiques. (html)
Entiers, dénombrementsCe problème est constitué de trois sujets, centrés sur le raisonnement par récurrence ou des questions de dénombrements.
Exercice 1 : On étudie les propriétés caractéristiques de certaines sommes d'entiers.
Exercice 2 : On résout l'équation fonctionnelle f(m²+n²)=f(m)²+f(n)².
Exercice 3 : On s'intéresse à un problème de dénombrement (de combien de façons peut-on inscrire des carrés dans un damier). (sujet 1) (sujet 2) (sujet 3)
Belles récurrences On trouvera ici 18 exercices de bon niveau sur le thème du raisonnement par récurrence. (partie 1) (partie 2) (partie 3)
Récurrences et PythonCe problème est constitué de trois sujets indépendants.
Sujet 1 : On calcule le nombre de déplacements possibles d'un pion entre deux points du plan.
Sujet 2 : Un bel exemple de récurrence forte. On s'intéresse à une suite définie par récurrence, et on utilise le langage Python pour expérimenter la situation.
Sujet 3 : Là aussi, c'est un exemple (amusant) où Python permet d'expérimenter la situation. (sujet 1) (sujet 2) (sujet 3)
Raisonnements par l’absurdeCe sujet est constitué de dix exercices, tous consacrés à l'utilisation du raisonnement par l'absurde.
Ces exercices sont variés mais tous de bon niveau, et ils mettront votre sagacité à l'épreuve. (partie 1) (partie 2)
Sous-ensembles normauxUn problème assez théorique mais formateur sur les applications entre finis et les propriétés des cardinaux. (html)
Un florilège de 10 exercicesCe sujet est constitué de dix exercices.
Il y a des exercices de pure logique, d'autres qui portent sur des questions de sommation, ou encore de dénombrement.
Tous ces exercices sont d'un assez bon niveau et demandent de la réflexion. (partie 1) (partie 2)
Le premier exercice est une bonne (et amusante) introduction à l'utilisation des quantificateurs en logique propositionnelle.
Le second exercice traite de la simplification de propositions logiques. (html)
Entiers, dénombrementsCe problème est constitué de trois sujets, centrés sur le raisonnement par récurrence ou des questions de dénombrements.
Exercice 1 : On étudie les propriétés caractéristiques de certaines sommes d'entiers.
Exercice 2 : On résout l'équation fonctionnelle f(m²+n²)=f(m)²+f(n)².
Exercice 3 : On s'intéresse à un problème de dénombrement (de combien de façons peut-on inscrire des carrés dans un damier). (sujet 1) (sujet 2) (sujet 3)
Belles récurrences On trouvera ici 18 exercices de bon niveau sur le thème du raisonnement par récurrence. (partie 1) (partie 2) (partie 3)
Récurrences et PythonCe problème est constitué de trois sujets indépendants.
Sujet 1 : On calcule le nombre de déplacements possibles d'un pion entre deux points du plan.
Sujet 2 : Un bel exemple de récurrence forte. On s'intéresse à une suite définie par récurrence, et on utilise le langage Python pour expérimenter la situation.
Sujet 3 : Là aussi, c'est un exemple (amusant) où Python permet d'expérimenter la situation. (sujet 1) (sujet 2) (sujet 3)
Raisonnements par l’absurdeCe sujet est constitué de dix exercices, tous consacrés à l'utilisation du raisonnement par l'absurde.
Ces exercices sont variés mais tous de bon niveau, et ils mettront votre sagacité à l'épreuve. (partie 1) (partie 2)
Sous-ensembles normauxUn problème assez théorique mais formateur sur les applications entre finis et les propriétés des cardinaux. (html)
Un florilège de 10 exercicesCe sujet est constitué de dix exercices.
Il y a des exercices de pure logique, d'autres qui portent sur des questions de sommation, ou encore de dénombrement.
Tous ces exercices sont d'un assez bon niveau et demandent de la réflexion. (partie 1) (partie 2)
Ensembles finis, dénombrements
Déplacements dans ℤxℕCe problème étudie les déplacements d'un robot, partant de l'origine, et qui effectue des déplacements d'une unité dans une direction quelconque.
L'objet du problème est de calculer le nombre de trajectoires formées de n déplacements et qui se maintiennent dans le demi-plan y≥O.
Pour répondre à cette question, on expose deux méthodes distinctes. (Partie 1) (Partie 2)
Surjections entre ensembles finisCe sujet porte sur le calcul du nombre de surjections entre deux ensembles finis de cardinaux respectifs n et p.
C'est un problème classique, avec des calculs sur les dénombrements, les coefficients binomiaux, les techniques usuelles de sommations, et le raisonnement par récurrence. (html)
Partitions d’un ensemble finiCe sujet porte sur le calcul du nombre de partitions d’un ensemble fini.
On relie ce nombre à celui des surjections entre deux ensembles finis.
On étudie le nombre de partitions en paires, et on en déduit le nombre d'involutions d'un ensemble fini. (html)
Parties infinies de ℕCe problème est consacré à la question de la dénombrabilité.
On montre que toutes les parties infinies de l'ensemble ℕ des entiers naturels sont en bijection avec ℕ.
Dans une deuxième partie, on étudie des questions classiques relatives aux ensembles infinis dénombrables. (html)
Dérangements d’ensembles finisCe problème porte sur le calcul du nombre Dn de bijections d'un ensemble fini E de cardinal n et qui sont sans point fixe.
On trouve une relation sur le suite Dn et on en déduit un expression de Dn sous forme de somme.
Une autre méthode permet de retrouver ce résultat.
On termine par une application à une question classique de probabilité. (html)
Lancers de dés chanceuxOn lance n fois un dé honnête. Cette n-partie est dit q-chanceuse si on n'a jamais obtenu q résultats successifs identiques.
Ce problème étudie la probabilité qu'une n-partie soit q-chanceuse.
On traite les cas particuliers q=2 et q=3, puis on généralise.
Ce problème est divisé en quatre parties.
Voila un bon sujet au croisement de l'analyse, des dénombrements, des suites et des probabilités. (I) (II) (III) (IV)
L'objet du problème est de calculer le nombre de trajectoires formées de n déplacements et qui se maintiennent dans le demi-plan y≥O.
Pour répondre à cette question, on expose deux méthodes distinctes. (Partie 1) (Partie 2)
Surjections entre ensembles finisCe sujet porte sur le calcul du nombre de surjections entre deux ensembles finis de cardinaux respectifs n et p.
C'est un problème classique, avec des calculs sur les dénombrements, les coefficients binomiaux, les techniques usuelles de sommations, et le raisonnement par récurrence. (html)
Partitions d’un ensemble finiCe sujet porte sur le calcul du nombre de partitions d’un ensemble fini.
On relie ce nombre à celui des surjections entre deux ensembles finis.
On étudie le nombre de partitions en paires, et on en déduit le nombre d'involutions d'un ensemble fini. (html)
Parties infinies de ℕCe problème est consacré à la question de la dénombrabilité.
On montre que toutes les parties infinies de l'ensemble ℕ des entiers naturels sont en bijection avec ℕ.
Dans une deuxième partie, on étudie des questions classiques relatives aux ensembles infinis dénombrables. (html)
Dérangements d’ensembles finisCe problème porte sur le calcul du nombre Dn de bijections d'un ensemble fini E de cardinal n et qui sont sans point fixe.
On trouve une relation sur le suite Dn et on en déduit un expression de Dn sous forme de somme.
Une autre méthode permet de retrouver ce résultat.
On termine par une application à une question classique de probabilité. (html)
Lancers de dés chanceuxOn lance n fois un dé honnête. Cette n-partie est dit q-chanceuse si on n'a jamais obtenu q résultats successifs identiques.
Ce problème étudie la probabilité qu'une n-partie soit q-chanceuse.
On traite les cas particuliers q=2 et q=3, puis on généralise.
Ce problème est divisé en quatre parties.
Voila un bon sujet au croisement de l'analyse, des dénombrements, des suites et des probabilités. (I) (II) (III) (IV)
Arithmétique et polynômes
Une suite de polynômesDans ce problème, on définit une suite de polynômes Pn par la donnée de P0 et P1, et par une relation entre trois polynômes consécutifs.
On étudie les propriétés des Pn (racines, expression générale, équation différentielle). (sujet) (corrigé)
Équation P(X2)=P(X+a)P(X+b)Dans ce sujet complet et relativement exigeant, on étudie les polynômes qui satisfont à l'équation (E): P(X²)=P(X+a)P(X+b).
On étudie d'abord quelques cas particulier sur a et b.
On passe ensuite au cas général, et on voit l'importance du polynôme non nul de degré minimal satisfaisant à (E). (sujet) (corrigé)
Polynômes de TchebychevDans ce problème très classique, on étudie les propriétés des polynômes de Tchebychev Tn de première espèce (parité, terme dominant, racines, équation différentielle).
On termine par une propriété bien connue des Tn en matière de meilleure approximation. (I) (II) (III)
Polynômes d’endomorphismesDans ce sujet au croisement du calcul polynomial et de l'algèbre linéaire, on étudie la notion de polynôme d'endomorphisme.
On démontre notamment le lemme des noyaux.
On applique ce résultat à la résolution d'équations différentielles linéaires d'ordre quelconque. (sujet) (corrigé)
Points d’équilibre dans le planOn imagine un système fini de points fixés dans le plan. Chacun d'eux exerce une force d'attraction. Ce problème de géométrie étudie les points du plan qui restent en équilibre dans ce système de forces. (html)
Polynômes P(X) divisant P(Xn)Dans ce problème, on étudie les polynômes P tels que P(X) divise P(Xn), essentiellement dans les cas particuliers n=2 et n=3.
Voila un bon sujet sur les relations entre les racines et les coefficients d'un polynôme. (sujet) (corrigé)
Le dernier chiffre non nul de n!Un très joli sujet d'arithmétique des entiers.
On étudie quel est, en fonction de l'entier n, le dernier chiffre non nul dans l'écriture de n!.
On termine par une programmation du résultat avec le langage Python. (html)
Somme des 1/n2 et polynômesCe sujet propose une méthode classique pour calculer la somme de la série des 1/n2.
Tout part de la factorisation d'un polynôme à coefficients complexes, puis d'une relation entre coefficients et racines. Cela se termine par l'utilisation d'une inégalité trigonométrique. (html)
Polynômes et racinesUn problème où on étudie les polynômes satisfaisant à une condition de divisibilité. La dernière partie est plus géométrique. (sujet) (corrigé)
On étudie les propriétés des Pn (racines, expression générale, équation différentielle). (sujet) (corrigé)
Équation P(X2)=P(X+a)P(X+b)Dans ce sujet complet et relativement exigeant, on étudie les polynômes qui satisfont à l'équation (E): P(X²)=P(X+a)P(X+b).
On étudie d'abord quelques cas particulier sur a et b.
On passe ensuite au cas général, et on voit l'importance du polynôme non nul de degré minimal satisfaisant à (E). (sujet) (corrigé)
Polynômes de TchebychevDans ce problème très classique, on étudie les propriétés des polynômes de Tchebychev Tn de première espèce (parité, terme dominant, racines, équation différentielle).
On termine par une propriété bien connue des Tn en matière de meilleure approximation. (I) (II) (III)
Polynômes d’endomorphismesDans ce sujet au croisement du calcul polynomial et de l'algèbre linéaire, on étudie la notion de polynôme d'endomorphisme.
On démontre notamment le lemme des noyaux.
On applique ce résultat à la résolution d'équations différentielles linéaires d'ordre quelconque. (sujet) (corrigé)
Points d’équilibre dans le planOn imagine un système fini de points fixés dans le plan. Chacun d'eux exerce une force d'attraction. Ce problème de géométrie étudie les points du plan qui restent en équilibre dans ce système de forces. (html)
Polynômes P(X) divisant P(Xn)Dans ce problème, on étudie les polynômes P tels que P(X) divise P(Xn), essentiellement dans les cas particuliers n=2 et n=3.
Voila un bon sujet sur les relations entre les racines et les coefficients d'un polynôme. (sujet) (corrigé)
Le dernier chiffre non nul de n!Un très joli sujet d'arithmétique des entiers.
On étudie quel est, en fonction de l'entier n, le dernier chiffre non nul dans l'écriture de n!.
On termine par une programmation du résultat avec le langage Python. (html)
Somme des 1/n2 et polynômesCe sujet propose une méthode classique pour calculer la somme de la série des 1/n2.
Tout part de la factorisation d'un polynôme à coefficients complexes, puis d'une relation entre coefficients et racines. Cela se termine par l'utilisation d'une inégalité trigonométrique. (html)
Polynômes et racinesUn problème où on étudie les polynômes satisfaisant à une condition de divisibilité. La dernière partie est plus géométrique. (sujet) (corrigé)
Applications linéaires
Images et noyaux itérésUn sujet ultra-classique où on étudie les suites des noyeaux Ker(fk) et des images Im(fk) des itérées fk d'un endomorphisme f d'un espace vectoriel E. Bien travailler ce problème est une obligation.
(sujet)
(corrigé)
Crochet de LieOn note ⟪f,g⟫= fg-gf le crochet de Lie de deux endomorphismes d'un espace vectoriel E.
On étudie les égalités ⟪f,g⟫=af+bg dans quelques cas particuliers, puis dans le cas général, notamment quand l'une des deux applications est un projecteur. (sujet) (corrigé)
Sommes de projecteursDans ce problème d'algèbre linéaire, on s'intéresse aux combinaisons linéaires de Id, p, q et pq lorsque p et q sont deux projecteurs qui commutent. (sujet) (corrigé)
Transposition d’endomorphismeVoici un sujet d'algèbre linéaire assez théorique.
On définit et on étudie la notion de transposée d'un endomorphisme (notion assez proche de la transposition des matrices). (html)
Crochet de LieOn note ⟪f,g⟫= fg-gf le crochet de Lie de deux endomorphismes d'un espace vectoriel E.
On étudie les égalités ⟪f,g⟫=af+bg dans quelques cas particuliers, puis dans le cas général, notamment quand l'une des deux applications est un projecteur. (sujet) (corrigé)
Sommes de projecteursDans ce problème d'algèbre linéaire, on s'intéresse aux combinaisons linéaires de Id, p, q et pq lorsque p et q sont deux projecteurs qui commutent. (sujet) (corrigé)
Transposition d’endomorphismeVoici un sujet d'algèbre linéaire assez théorique.
On définit et on étudie la notion de transposée d'un endomorphisme (notion assez proche de la transposition des matrices). (html)
Matrices, systèmes
Systèmes d’équationsCe sujet est composé de cinq exercices indépendants, sur le thème de la résolution de systèmes d'équations (notamment avec paramètre).
Deux de ces exercices contiennent une application à rédiger en langage Python. (sujet) (corrigé)
Puissances de matricesCe problème porte sur le calcul des puissances d'une matrice A particulière, et on expose pour cela quatre méthodes différentes.
On étudie ensuite l'ensemble des matrices qui commutent avec A. (sujet)
Récurrences matriciellesCe problème, assez technique, porte sur l'étude de suites arithmético-géométriques de matrices. Cela demande une certaine dextérité dans la résolution des différentes récurrences. (sujet) (corrigé)
Matrices et PythagoreOn étudie ici des sous-groupes de matrices inversibles.
On applique ensuite les résultats obtenus à la recherche de triplets d'entiers (x,y,z) tels que x²+y²=z². (sujet) (corrigé)
Deux sujets de calcul matricielLe premier problème consiste à calculer l'inverse (par la méthode du pivot d'une matrice A de type 4x4, puis ses puissances à exposants relatifs.
Le deuxième problème étudie un sous-groupe de matrices inversibles dépendant d'un paramètre. (sujet) (corrigé)
Étude d’une algèbre de matricesDans ce problème, on étudie la sous-algèbre de M3(ℂ) engendrée par une matrice A.
On détermine les matrices inversibles dans cette sous-algèbre.
On identifie le commutant de A, ainsi que ses racines carrées. (sujet) (corrigé)
Décomposition LU d’une matriceVoici un problème de calcul matriciel de très bon niveau.
Dans une première partie, on voit une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice A admette une décomposition LU.
Dans la partie 2, on prouve un algorithme aboutissant à cette décomposition.
On étudie ensuite le cas plus général de la décomposition PA=LU.
Trois autres parties terminent ce tour d'horizon. (sujet) (corrigé)
Étude d’une famille de matricesCe problème sans difficultés mais un peu technique est consacré à l'étude d'une famille de matrices dépendant d'un paramètre. (sujet) (corrigé)
Matrices et carrés magiquesCe problème très complet (et parfois un peu théorique dans sa première partie) porte sur les propriétés de l'ensemble des matrices magiques d'ordre n.
La dernière partie propose une description complète de l'ensemble des matrices magiques d'ordre 3. (sujet) (corrigé)
Système à diagonale dominanteDans ce sujet, on montre qu'une matrice carrée à diagonale dominante est inversible.
On étudie ensuite un algorithme d'approximation de l'inverse de cette matrice.
On termine par une application numérique. (sujet) (corrigé)
Une famille de matrices 3×3Ce problème est consacré à l'étude d'une matrice M dépendant d'un paramètre. On calcule les puissances de M par des méthodes d'algèbre linéaire, ou par du pur calcul matriciel. (sujet) (corrigé)
Une décomposition LUDans ce problème, on se donne une matrice A tridiagonale de taille n.
On propose un algorithme itératif aboutissant à la décomposition LU de A par des opérations élémentaires sur les lignes.
On en déduit le déterminant de A (et on retrouve ce résultat par une méthode directe) (sujet) (corrigé)
Deux de ces exercices contiennent une application à rédiger en langage Python. (sujet) (corrigé)
Puissances de matricesCe problème porte sur le calcul des puissances d'une matrice A particulière, et on expose pour cela quatre méthodes différentes.
On étudie ensuite l'ensemble des matrices qui commutent avec A. (sujet)
Récurrences matriciellesCe problème, assez technique, porte sur l'étude de suites arithmético-géométriques de matrices. Cela demande une certaine dextérité dans la résolution des différentes récurrences. (sujet) (corrigé)
Matrices et PythagoreOn étudie ici des sous-groupes de matrices inversibles.
On applique ensuite les résultats obtenus à la recherche de triplets d'entiers (x,y,z) tels que x²+y²=z². (sujet) (corrigé)
Deux sujets de calcul matricielLe premier problème consiste à calculer l'inverse (par la méthode du pivot d'une matrice A de type 4x4, puis ses puissances à exposants relatifs.
Le deuxième problème étudie un sous-groupe de matrices inversibles dépendant d'un paramètre. (sujet) (corrigé)
Étude d’une algèbre de matricesDans ce problème, on étudie la sous-algèbre de M3(ℂ) engendrée par une matrice A.
On détermine les matrices inversibles dans cette sous-algèbre.
On identifie le commutant de A, ainsi que ses racines carrées. (sujet) (corrigé)
Décomposition LU d’une matriceVoici un problème de calcul matriciel de très bon niveau.
Dans une première partie, on voit une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice A admette une décomposition LU.
Dans la partie 2, on prouve un algorithme aboutissant à cette décomposition.
On étudie ensuite le cas plus général de la décomposition PA=LU.
Trois autres parties terminent ce tour d'horizon. (sujet) (corrigé)
Étude d’une famille de matricesCe problème sans difficultés mais un peu technique est consacré à l'étude d'une famille de matrices dépendant d'un paramètre. (sujet) (corrigé)
Matrices et carrés magiquesCe problème très complet (et parfois un peu théorique dans sa première partie) porte sur les propriétés de l'ensemble des matrices magiques d'ordre n.
La dernière partie propose une description complète de l'ensemble des matrices magiques d'ordre 3. (sujet) (corrigé)
Système à diagonale dominanteDans ce sujet, on montre qu'une matrice carrée à diagonale dominante est inversible.
On étudie ensuite un algorithme d'approximation de l'inverse de cette matrice.
On termine par une application numérique. (sujet) (corrigé)
Une famille de matrices 3×3Ce problème est consacré à l'étude d'une matrice M dépendant d'un paramètre. On calcule les puissances de M par des méthodes d'algèbre linéaire, ou par du pur calcul matriciel. (sujet) (corrigé)
Une décomposition LUDans ce problème, on se donne une matrice A tridiagonale de taille n.
On propose un algorithme itératif aboutissant à la décomposition LU de A par des opérations élémentaires sur les lignes.
On en déduit le déterminant de A (et on retrouve ce résultat par une méthode directe) (sujet) (corrigé)
Déterminants
Système tridiagonal symétriqueOn étudie une famille de matrices dont le déterminant est lié aux polynômes de Chebyshev de deuxième espèce.
On en déduit la résolution d'un système linéaire de taille n et dépendant d'un paramètre. (sujet) (corrigé)
Déterminants circulantsCe problème est consacré à l'étude des propriétés des déterminant dits circulants.
On considère d'abord le cas particulier d'un déterminant d'ordre 4.
On généralise ensuite (et de deux manières différentes) au cas des déterminants d'ordre quelconque. (sujet) (corrigé)
Matrices et déterminantsDans ce problème, on étudie une famille de déterminants d'ordre 3 et dépendant de deux paramètres.
Le sujet mêle des questions purement matricielles, géométriques, et d'algèbre linéaire. (sujet) (corrigé)
Déterminants de HankelCe problème est consacré à l'étude des déterminants de Hankel.
Dans un premier temps, on établit des propriétés classiques de la comatrice.
On établit ensuite une relation entre les déterminants de Hankel est les suites récurrentes linéaires d'ordre n.
On termine sur un exemple. (sujet) (corrigé)
Translatées d’une appnCe sujet assez théorique aborde plusieurs chapitres: espaces vectoriels de dimension finie, déterminants, systèmes linéaires, équations différentielles. (sujet) (corrigé)
Un déterminant à paramètreCe problème est consacré à l'étude d'un déterminant d'ordre n, dépendant d'un paramètre.
On aborde plusieurs méthodes de calcul de ce déterminant. (sujet) (corrigé)
On en déduit la résolution d'un système linéaire de taille n et dépendant d'un paramètre. (sujet) (corrigé)
Déterminants circulantsCe problème est consacré à l'étude des propriétés des déterminant dits circulants.
On considère d'abord le cas particulier d'un déterminant d'ordre 4.
On généralise ensuite (et de deux manières différentes) au cas des déterminants d'ordre quelconque. (sujet) (corrigé)
Matrices et déterminantsDans ce problème, on étudie une famille de déterminants d'ordre 3 et dépendant de deux paramètres.
Le sujet mêle des questions purement matricielles, géométriques, et d'algèbre linéaire. (sujet) (corrigé)
Déterminants de HankelCe problème est consacré à l'étude des déterminants de Hankel.
Dans un premier temps, on établit des propriétés classiques de la comatrice.
On établit ensuite une relation entre les déterminants de Hankel est les suites récurrentes linéaires d'ordre n.
On termine sur un exemple. (sujet) (corrigé)
Translatées d’une appnCe sujet assez théorique aborde plusieurs chapitres: espaces vectoriels de dimension finie, déterminants, systèmes linéaires, équations différentielles. (sujet) (corrigé)
Un déterminant à paramètreCe problème est consacré à l'étude d'un déterminant d'ordre n, dépendant d'un paramètre.
On aborde plusieurs méthodes de calcul de ce déterminant. (sujet) (corrigé)
Produits scalaires, espaces euclidiens
Exercices géométrie euclidienneCe sujet est composé de six exercices indépendants de géométrie euclidienne (orthogonalité)
(sujet)
(corrigé)
Produit scalaire de polynômes Dans ce problème très complet, on introduit un endomorphisme de l'espace des polynômes à coefficients réels.
On en détermine les vecteurs propres.
On relie ensuite le résultat à l'étude d'un produit scalaire. (sujet) (corrigé)
Matrices orthogonalesDans ce problème, on étudie une famille de matrices antisymétriques d'ordre 3.
On en déduit une famille de matrices orthogonales dont on étudie la nature géométrique. (sujet) (corrigé)
Matrices de GramOn définit la matrice de Gram associée à une famille de m vecteurs d'un espace euclidien.
On étudie les propriétés du déterminant d'une telle matrice.
On en déduit une expression de la distance à un sous-espace. (sujet) (corrigé)
Familles obtusanglesDans ce problème très formateur, on étudie les familles obtusangles d'un espace euclidien de dimension m.
On voit qu'une telle famille est nécessairement de cardinal au plus m+1.
On voit enfin comment construire une telle famille. (sujet) (corrigé)
Produit scalaire de polynômes Dans ce problème très complet, on introduit un endomorphisme de l'espace des polynômes à coefficients réels.
On en détermine les vecteurs propres.
On relie ensuite le résultat à l'étude d'un produit scalaire. (sujet) (corrigé)
Matrices orthogonalesDans ce problème, on étudie une famille de matrices antisymétriques d'ordre 3.
On en déduit une famille de matrices orthogonales dont on étudie la nature géométrique. (sujet) (corrigé)
Matrices de GramOn définit la matrice de Gram associée à une famille de m vecteurs d'un espace euclidien.
On étudie les propriétés du déterminant d'une telle matrice.
On en déduit une expression de la distance à un sous-espace. (sujet) (corrigé)
Familles obtusanglesDans ce problème très formateur, on étudie les familles obtusangles d'un espace euclidien de dimension m.
On voit qu'une telle famille est nécessairement de cardinal au plus m+1.
On voit enfin comment construire une telle famille. (sujet) (corrigé)