Problèmes d’algèbre Mpsi, Pcsi

Voici les problèmes d’algèbre que j’ai donnés, au fil des années, en DM ou en DS, dans ma classe de MPSI du lycée Saint-Louis. Vu le grand nombre de devoirs mis en ligne sur ce site, j’ai opté pour une distinction « Algèbre/Analyse » qui est une simple commodité de classement.

Raisonnements, calculs algébriques
Un peu de logique (énoncé) (corrigé)
Entiers naturels, dénombrements (énoncé) (corrigé)
Raisonnements par récurrence (énoncé) (corrigé)
Raisonnements+récurrences+Python (énoncé) (corrigé)
Raisonnements par l’absurde (énoncé) (corrigé)
Ensembles normaux pour une appn (énoncé) (corrigé)
Exercices de début d’année (énoncé) (corrigé)
Exercices variés (énoncé) (corrigé)
Ensembles finis, dénombrements
Déplacements dans ℤxℕ (énoncé) (corrigé)
Surjections entre ensembles finis (énoncé) (corrigé)
Partitions d’un ensemble fini (énoncé) (corrigé)
Parties infinies de ℕ (énoncé) (corrigé)
Dérangements d’ensembles finis (énoncé) (corrigé)
Lancers de dés chanceux (énoncé) (corrigé)
Arithmétique et polynômes
Une suite de polynômes (énoncé) (corrigé)
Équation P(X2)=P(X+a)P(X+b) (énoncé) (corrigé)
Polynômes de Chebyshev (énoncé) (corrigé)
Polynômes d’endomorphismes (énoncé) (corrigé)
Points d’équilibre dans le plan (énoncé) (corrigé)
Polynômes P(X) divisant P(Xn) (énoncé) (corrigé)
Le dernier chiffre non nul de n! (énoncé) (corrigé)
Somme des 1/n2 par les polynômes (énoncé) (corrigé)
Polynômes et racines (énoncé) (corrigé)
Applications linéaires
{}Images et noyaux itérés (énoncé) (corrigé)
Crochet de Lie (énoncé) (corrigé)
Sommes de projecteurs (énoncé) (corrigé)
Transposition d’un endomorphisme (énoncé) (corrigé)
Matrices, systèmes
{}Systèmes d’équations (énoncé) (corrigé)
Puissances de matrices (énoncé)
Récurrences matricielles (énoncé) (corrigé)
Matrices et Pythagore (énoncé) (corrigé)
Deux problèmes de calcul matriciel (énoncé) (corrigé)
Étude d’une algèbre de matrices (énoncé) (corrigé)
Décomposition LU d’une matrice (énoncé) (corrigé)
Étude d’une famille de matrices (énoncé) (corrigé)
Matrices et carrés magiques (énoncé) (corrigé)
Systèmes à diagonale dominante (énoncé) (corrigé)
Une famille de matrices 3×3 (énoncé) (corrigé)
La décomposition LU (énoncé) (corrigé)
Déterminants
Un système tridiagonal symétrique (énoncé) (corrigé)
Déterminants circulants (énoncé) (corrigé)
Famille de matrices et déterminants (énoncé) (corrigé)
Déterminants de Hankel (énoncé) (corrigé)
Déterminants, translatées d’une appn (énoncé) (corrigé)
Un déterminant à paramètre (énoncé) (corrigé)
Produits scalaires, espaces euclidiens
{}Exercices de géométrie euclidienne (énoncé) (corrigé)
Un produit scalaire dans R[X] (énoncé) (corrigé)
Famille de matrices orthogonales (énoncé) (corrigé)
Matrices de Gram (énoncé) (corrigé)
Familles obtusangles (énoncé) (corrigé)