Une équation fonctionnelle dans ℕ

Soit {f} une application de {\mathbb{N}} dans {\mathbb{N}} telle que : {\forall (m,n)\in\mathbb{N}^2,\;f(m^2+n^2)=f(m)^2+f(n)^2}L’objectif de ce sujet est de prouver que les seules possibilités (qui conviennent de façon évidente) sont :

  • L’application nulle : {\forall n\in\mathbb{N},\;f(n)=0}.
  • L’application identité : {\forall n\in\mathbb{N},\;f(n)=n}.

Dans la suite de l’exercice, on note {a=f(1)}.

Question 1.
Montrer que {f(0)=0}.
En déduire : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;f(n^2)=f(n)^2}.
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Avec {m=n=0}, on trouve {f(0)=f(0)^2+f(0)^2=2f(0)^2} donc {f(0)\bigl(2f(0)-1\bigr)=0}.

Comme {f(0)\in\mathbb{N}}, nécessairement {f(0)=0}.

Avec {n} quelconque et {m=0}, il vient : {f(n^2+0^2)=f(n)^2+f(0)^2}c’est-à-dire {f(n^2)=f(n)^2}.

Question 2.
Montrer que {a} est élément de {\{0,1\}}.
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On a {f(1^2)=f(1)^2} donc {a=a^2} donc {a\in\{0,1\}}
Pour résoudre le problème, il suffit visiblement de prouver que l’égalité {f(n)=an}, déjà vraie pour {n\in\{0,1\}}, est vraie pour tout {n}.

Question 3.
Vérifier que {f(2)=2a}, {f(4)=4a} et {f(5)=5a}.
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Question 4.
Utiliser les valeurs de {f(4)} et de {f(5)} pour montrer que {f(3)=3a}.
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Question 5.
Utiliser les valeurs de {f(1)} et de {f(5)} pour montrer que {f(7)=7a}.
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Question 6.
Montrer que {f(8)=8a}, {f(9)=9a}, {f(10)=10a} et {f(6)=6a}.
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Question 7.
Observer que pour tout entier {m} on a :
{\begin{cases}(2m)^2+(m-5)^2=(2m-4)^2+(m+3)^2\\(2m+1)^2+(m-2)^2=(2m-1)^2+(m+2)^2\end{cases}}Montrer que pour {n}, on a {f(n)=an}.
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Question 8.
Conclusion?
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