Voici quelques extraits en libre accès pour donner une petite idée du contenu du site.
| (Oral Centrale Mp) On se place dans le plan {\mathbb{P}} euclidien, rapporté à un repère orthonormé. Pour tout {a\in\mathbb{N}^*}, on note {\Gamma_a} la courbe d’équation {x^3+y^3=a}. Soit {\Gamma_a(\mathbb{Z})} l’ensemble des points de {\Gamma_a} à coordonnées entières.
|
-
-
On a les équivalences : {\begin{array}{rl}(x,y)\in\Gamma_a&\Leftrightarrow x^3+y^3=a\Leftrightarrow \Bigl(\dfrac{x}{{a}^{1/3}}\Bigr)^3+\Bigl(\dfrac{y}{{a}^{1/3}}\Bigr)^3=1\\\\&\Leftrightarrow \Bigl(\dfrac{x}{{a}^{1/3}},\dfrac{y}{{a}^{1/3}}\Bigr)\in\Gamma_{1}\end{array}}Ainsi {\Gamma_a} se déduit de {\Gamma_{1}} par l’homothétie de centre {0} et de rapport {{a}^{1/3}}.
Finalement {\Gamma_{b}} se déduit de {\Gamma_a} par l’homothétie de centre {0} et de rapport {{\Bigl(\dfrac{b}{a}\Bigr)}^{1/3}}.
-
La droite {y=x} est bien sûr axe de symétrie de toutes les courbes {\Gamma_a}.
On a {(x,y)\in\Gamma_{1}\Leftrightarrow y=f(x)={(1-x^{3})}^{1/3}}.
D’autre part {f} est une bijection continue strictement de {\mathbb{R}}.
Pour {x\ne1}, on a {f'(x)=-\dfrac{x^{2}}{{(1-x^{3})}^{1/3}}}.
Il y a deux inflexions, en {(0,1)} (tangente horizontale) et en {(1,0)} (tangente verticale).
En {x\to\pm\infty}: {f(x)=-x{\biggl(1-\dfrac{1}{x^3}\biggr)}^{1/3}=-x+\dfrac{1}{3x^{2}}+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{x^2}\Bigr)}.
Ainsi {y=-x} est asymptote (courbe au-dessus car {f(x)^3=1-x^3>(-x)^3}).
Voici une collection de courbes {\Gamma_a}
(on a représenté aussi “{\Gamma_{0}}” qui n’est autre que l’asymptote commune).
-
On a les équivalences : {\begin{array}{rl}(x,y)\in\Gamma_a&\Leftrightarrow x^3+y^3=a\Leftrightarrow \Bigl(\dfrac{x}{{a}^{1/3}}\Bigr)^3+\Bigl(\dfrac{y}{{a}^{1/3}}\Bigr)^3=1\\\\&\Leftrightarrow \Bigl(\dfrac{x}{{a}^{1/3}},\dfrac{y}{{a}^{1/3}}\Bigr)\in\Gamma_{1}\end{array}}Ainsi {\Gamma_a} se déduit de {\Gamma_{1}} par l’homothétie de centre {0} et de rapport {{a}^{1/3}}.
-
-
On a {(x,y)\in\Gamma_a(\mathbb{Z})\Leftrightarrow a=(x+y)(x^2-xy+y^2)}.
Ainsi {\exists\, d\in\mathbb{N}^{*},\;d\mid a,\begin{cases}x+y=d\cr x^2-xy+y^2=a/d\end{cases}}
Cela équivaut à {\begin{cases}y=d-x\cr 3x^2-3dx+d^2-a/d=0~(E)\end{cases}}
L’entier {a} n’a qu’un nombre fini de diviseurs {d}, et pour chacun d’eux l’équation {(E)} a au plus deux solutions réelles (et a fortiori au plus deux solutions entières!), donc {\Gamma_a(\mathbb{Z})} est fini.
Le discriminant de {(E)} valant {\Delta=\dfrac{3}{d}(4a-d^3)}, on se limite à {1\le d\le {(4a)}^{1/3}}.
-
Les diviseurs {d>0} de {a=91} forment {\{1,7,13,91\}}.
On se limite à {d\le{(4a)}^{1/3}\approx 7.14}.
-
Pour {d=1}, on a {(E)\Leftrightarrow x^2-x-30=0\Leftrightarrow x\in\{-5,6\}}.
On trouve donc {(-5,6)} et {(6,-5)}.
-
Pour {d=7}, on a {(E)\Leftrightarrow x^2-7x+12=0\Leftrightarrow x\in\{4,3\}}.
On trouve donc {(4,3)} et {(3,4)}.
-
Pour {d=1}, on a {(E)\Leftrightarrow x^2-x-30=0\Leftrightarrow x\in\{-5,6\}}.
-
On a {(x,y)\in\Gamma_a(\mathbb{Z})\Leftrightarrow a=(x+y)(x^2-xy+y^2)}.
-
-
Le point courant sur la tangente en {P_{0}} est : {M(t)=P_{0}+tu_{0}=(x_{0}+ty_{0}^2,y_{0}-tx_{0}^2)}On a les équivalences (sachant {x_{0}^3+y_{0}^3=7}, et en écartant {t=0}) :{\begin{array}{rl}M(t)\in\Gamma_{7}&\Leftrightarrow (x_{0}+ty_{0}^2)^3+(y_{0}-tx_{0}^2)^3=7\\\\&\Leftrightarrow(y_{0}^6-x_{0}^6)t^3+3(x_{0}y_{0}^4+y_{0}x_{0}^4)t^2=0\\\\&\Leftrightarrow ((y_{0}^3-x_{0}^3)t+3x_{0}y_{0})t^2=0\Leftrightarrow t=\dfrac{3x_{0}y_{0}}{x_{0}^3-y_{0}^3}\end{array}}Remarque: on a {x_{0}^3\ne y_{0}^3} (sinon {2x_{0}^3=7}, alors que {x_{0}} est rationnel).
La tangente en {P_{0}} à {\Gamma_{7}} recoupe donc {\Gamma_{7}} en {P_{1}(x_{1},y_{1})}, avec : {\begin{array}{l}x_{1}=x_{0}+ty_{0}^2=x_{0}\,\dfrac{x_{0}^3+2y_{0}^3}{x_{0}^3-y_{0}^3}=\varphi(x_{0})\\\\y_{1}=y_{0}-tx_{0}^2=y_{0}\,\dfrac{y_{0}^3+2x_{0}^3}{y_{0}^3-x_{0}^3}=\varphi(y_{0})\end{array}}Nb: l’égalité {x_{1}=x_{0}} impliquerait {14-x_{0}^3=2x_{0}^3-7} donc {x_{0}^3=7}, ce qui n’est pas.
-
Soit {m\in\mathbb{N}^*}, et les points {P_{0}=(x_{0},y_{0})}, {P_{1}=(x_{1},y_{1})}, {\ldots}, {P_{m-1}=(x_{m-1},y_{m-1})}.
Il existe un entier {N} tel que les {Nx_{k}} et {Ny_{k}} soient entiers pour {0\le k\lt m}.
Pour {0\le k\lt m}, on a alors {(Nx_{k})^3+(Ny_{k})^3=7N^3}.
Ainsi {\Gamma_{7N^3}} contient au moins {m} points différents à coordonnées entières.
-
Le point courant sur la tangente en {P_{0}} est : {M(t)=P_{0}+tu_{0}=(x_{0}+ty_{0}^2,y_{0}-tx_{0}^2)}On a les équivalences (sachant {x_{0}^3+y_{0}^3=7}, et en écartant {t=0}) :{\begin{array}{rl}M(t)\in\Gamma_{7}&\Leftrightarrow (x_{0}+ty_{0}^2)^3+(y_{0}-tx_{0}^2)^3=7\\\\&\Leftrightarrow(y_{0}^6-x_{0}^6)t^3+3(x_{0}y_{0}^4+y_{0}x_{0}^4)t^2=0\\\\&\Leftrightarrow ((y_{0}^3-x_{0}^3)t+3x_{0}y_{0})t^2=0\Leftrightarrow t=\dfrac{3x_{0}y_{0}}{x_{0}^3-y_{0}^3}\end{array}}Remarque: on a {x_{0}^3\ne y_{0}^3} (sinon {2x_{0}^3=7}, alors que {x_{0}} est rationnel).
|
-
Il y a six façons distinctes d’écrire {9} comme somme de trois entiers de {[[ 1,6]]} :
{\left\{\begin{array}{rlll}9&=6+2+1&=5+3+1&=5+2+2\\&=4+4+1&=4+3+2&=3+3+3\end{array}\right.}Il y a également six façons distinctes d’écrire {10} comme somme de trois entiers de {[[ 1,6]]} :
{\left\{\begin{array}{rlll}10&=6+3+1&=6+2+2&=5+4+1\\&=5+3+2&=4+4+2&=4+3+3\end{array}\right.} -
On suppose que les dés sont différenciés, ou qu’on lance le même dé trois fois de suite.
L’univers des possibles est {[[ 1,6]]} (de cardinal {6^{3}=216}), avec la probabilité uniforme.
On va coder une issue {(i,j,k)} par l’entier à trois chiffres {ijk}.
On constate alors que l’évènement {S=9} s’écrit comme la réunion de 25 issues différentes (on a isolé sur une même ligne les issues correspondant à une même décomposition de {9} en somme de trois entiers de {[[1,6]]}) :
{\left\{\begin{array}{l}621,\;612,\;261,\;216,\;162,\;126,\\531,\;513,\;351,\;315,\;153,\;135,\\522,\;252,\;225\\441,\;414,\;144\\432,\;423,\;342,\;324,\;243,\;234\\333\end{array}\right.}
Avec le même principe, l’événement {S=10} s’écrit:
{\left\{\begin{array}{l}631,\;613,\;361,\;316,\;163,\;136,\\622,\;262,\;226,\\541,\;514,\;451,\;415,\;154,\;145,\\532,\;523,\;352,\;325,\;253,\;235\\442,\;424,\;244,\\433,\;343,\;334\end{array}\right.}Il y a donc {25} (resp. {27}) issues élémentaires qui donnent la somme {9} (resp. {10}).
Ainsi {\mathbb{P}(S=9)=\dfrac{25}{216}\approx 0.11574}, et {\mathbb{P}(S=10)=\dfrac{27}{216}=\dfrac{3}{24}=0.125}.
On a donc {\mathbb{P}(S=10)>\mathbb{P}(S=9)} alors qu’il y a autant (en l’occurence {6}) de façons de décomposer {10} ou {9} en la somme de trois entiers de {[[ 1,6]]};
Ce problème est connue sous le nom “paradoxe du Duc de Toscane” (soumis à Galilée). Le paradoxe apparent est dû au fait qu’il n’y a pas équiprobabilité des décompositions (par exemple, {6+2+1} est six fois plus probable que {2+2+2}).
La fonction Python suivante (rustique) donne les nombres de décompositions de somme {s}.
La somme minimum est {3}, le maximum est {18} (on place les effectifs dans une liste {t}):
1234567def toscane():t = [0]*19 # initialise la liste des 19 effectifsfor i in range(1,7): # le premier défor j in range(1,7): # le deuxièmefor k in range(1,7): # le troisièmet[i+j+k] += 1 # incrémente l'effectif de la sommereturn t # renvoie la liste des effectifsOn voit bien qu’il y a {25} façons d’obtenir la somme {9}, et {27} façons d’obtenir la somme {10}:
12>>> toscane()[0, 0, 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 25, 27, 27, 25, 21, 15, 10, 6, 3, 1] -
Complément :
On va écrire une fonction récursive Python renvoyant la liste des {\varphi(n,m,s)} (avec {0\le s\le nm}), où {\varphi(n,m,s)} est le nombre de {n}-uplets de {[[ 0,m]]} qui donnent une somme {s} donnée (cette liste est indicée par les valeurs de {s}, donc de l’indice {0} à l’indice {nm}).
On initialise avec la liste [1]: en effet, pour {n=0}, il n’y a qu’une seule décomposition (la décomposition vide!) et elle donne la somme {s=0}. Ensuite, on discute suivant le résultat {j} (avec {0\le j\le m}) du premier élément du {n}-uplet. On trouve :{\begin{array}{rl}\varphi(n,m,s)&=\displaystyle\sum_{j=0}^{j=m}\varphi(n-1,m,s-j)\\\\&=\displaystyle\sum_{k=s-m}^{k=s}\varphi(n-1,m,k)\end{array}}L’indice {k} est limité à l’intervalle {[[ s-m,s]]}, mais il faut aussi imposer {0\le k\le (n-1)m}.
L’intervalle en {k} est donc {[[ \max(0,s-m),\min(s,(n-1)m)]]}.
On obtient la fonction suivante (qui utilise la notion de “slicing” d’une liste Python).
123456def partitions(n,m):if n == 0:return [1]else:L = partitions(n-1,m)return [sum(L[max(0,s-m):min(s,(n-1)*m)+1]) for s in range(m*n+1)]Voici par exemple les nombres de {7}-uplets de somme {s} donnée, avec des composantes dans {[[ 0,5]]} (par exemple le nombre {7}-uplets de {[[ 0,6]]} dont la somme est {11} est {10906}).
1234>>> print(partitions(7,5))[1, 7, 28, 84, 210, 462, 917, 1667, 2807, 4417, 6538, 9142, 12117, 15267, 18327,20993, 22967, 24017, 24017, 22967, 20993, 18327, 15267, 12117, 9142, 6538, 4417,2807, 1667, 917, 462, 210, 84, 28, 7, 1]Ici on trace le diagramme des effectifs précédents.
À un coefficient multiplicatif près sur l’échelle en {y} on trouve la loi de la somme de sept dés. Il semble que cette loi “tende” vers une loi normale.123>>> from pylab import *>>> P = partitions(7,5)>>> show(bar(range(len(P)),P,width=1,color='w'))