Vrai/faux de trigonométrie

Voici un Vrai/Faux de 17 affirmations sur le thème « Trigonométrie ». À chacune d’elles, on répond par « Vrai » si elle est « tout le temps vraie », et par Faux… sinon!

On ne répond pas au hasard : on saura dire pourquoi une propriété est vraie, ou alors trouver un contre-exemple si elle est fausse.


On a {\cos x=-\dfrac{\sqrt3}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{5\pi}{6}\!+\!2k\pi}, avec {k\in\mathbb{Z}}
Vrai? Faux?
C’est faux : il manque les {x=-\dfrac{5\pi}{6}\!+\!2k\pi}, {k\!\in\!\mathbb{Z}}.
Plus généralement : {\cos x=\cos\theta\Leftrightarrow\begin{cases}x\equiv\theta\ [2\pi]\\\;\text{ou}\;x\equiv-\theta\ [2\pi]\end{cases}}

On a {\dfrac{\text{e}^{2i\theta}-1}{\text{e}^{2i\theta}+1}=i\tan\theta}.
Vrai? Faux?
C’est vrai :
{\dfrac{\text{e}^{2i\theta}-1}{\text{e}^{2i\theta}+1}=\dfrac{\text{e}^{i\theta}-\text{e}^{-i\theta}}{\text{e}^{i\theta}+\text{e}^{-i\theta}}=\dfrac{2i\sin\theta}{2\cos\theta}=i\tan\theta}.

{\cos x=\sin x\Leftrightarrow x=\dfrac\pi4+k\pi}, {k\in\mathbb{Z}}.
Vrai? Faux?
C’est vrai : {\cos x=\sin x\Leftrightarrow \tan x=1} (car {\cos x=0} est ici exclu).
Et : {\tan x=1\Leftrightarrow \tan x=\tan\dfrac{\pi}{4}\Leftrightarrow x\equiv\dfrac{\pi}{4}\ [\pi]}.

La dérivée {2020}-ième de {x\mapsto \cos x} est {x\mapsto \cos x}.
Vrai? Faux?
C’est vrai. Plus généralement {\cos^{(n)}(x)=\cos\Bigl(x\!+\!n\dfrac{\pi}{2}\Bigr)} par récurrence facile.
Donc {\cos^{(n)}(x)=\cos x} quand {x\equiv 0\ [4]}.

Pour tout {x} de {\mathbb{R}} : {\sin\Big(\dfrac\pi2+x\Big)=-\cos x}.
Vrai? Faux?
C’est faux: en fait {\sin\Big(\dfrac\pi2+x\Big)=\cos x}.
Une telle formule ne doit pas être retenue par coeur, mais se retrouve immédiatement en visualisant les points d’angles polaires {x} et {x\!+\!\pi/2} sur le cercle unité avec {0\lt x\lt \pi/2}.

Pour tout {x} de {\mathbb{R}}, on a {\left|\sin x\right|{}\le \left|x\right|}, avec égalité en {0} uniquement.
Vrai? Faux?
C’est vrai. Visuellement c’est très clair.
Sinon on se ramène à {x\ge 0} par parité et on voit (par dérivation) que les fonctions {x\mapsto x-\sin x} et {x\mapsto x+\sin x} (nulles en {0}) sont strictement croissantes sur {\mathbb{R}^+}.

Pour tous {x,y} de {\mathbb{R}}, on a l’égalité : {\sin x\cos y=\dfrac12(\sin(x+y)+\sin(x-y))}.
Vrai? Faux?
C’est vrai, et c’est une formule de linéarisation classique. Si on hésite, on part du développement de {\sin(x\pm y)}.

Pour tous {p,q} de {\mathbb{R}} : {\sin p-\sin q=2\cos\dfrac{p+q}2\sin\dfrac{p-q}2}.
Vrai? Faux?
C’est vrai. Là aussi, on part des formules de base :{\begin{cases}\sin(x+y)=\sin x\,\cos y+\cos x\,\sin y\\\sin(x-y)=\sin x\,\cos y-\cos x\,\sin y\end{cases}}puis on soustrait pour obtenir {\sin(x+y)-\sin(x-y)=2\cos x\,\sin y} puis on pose {p=x+y\;\text{et}\;q=x-y}.
Il faut sans doute connaître le résultat par coeur!

Si on pose {t=\tan\dfrac x2}, on a {\tan x=\dfrac{2t}{1-t^2}}.
Vrai? Faux?
Vrai : simple variante de {\tan(2\theta)=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}}.
De même : {\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}} et {\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}.

La dérivée de {x\mapsto \tan^{2} x} est {x\mapsto 2(\tan x+\tan^3x)}.
Vrai? Faux?
C’est vrai car {\tan 'x=1+\tan^2 x}.
On en profite pour rappeler : {1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}}.

Pour tout {x} de {\Bigl]0,\dfrac\pi2\Bigr[}, on a {\sin x\lt x\lt \tan x}.
Vrai? Faux?
C’est vrai. Visuellement c’est évident.
Sinon on étudie les fonctions {f(x)=x-\sin x} et {g(x)=\tan x-x}, nulles en {0} et dont les dérivées {f'(x)=1-\cos x} et {g'(x)=\tan^2x} sont strictement positives sur {]0,\pi/2[}.

Pour tout {x} de {\Bigl[\dfrac\pi4,\dfrac{3\pi}4\Bigr]}, on a {\left|\cos{x}\right|\le\left|\sin x\right|}.
Vrai? Faux?
C’est vrai. Plus précisément sur cet intervalle ou a : {\left|\cos{x}\right|\le\dfrac{\sqrt2}{2}\le\left|\sin x\right|} (pas besoin de calcul, ça se visualise sur le cercle trigonométrique).

On a l’inégalité : {\sin\dfrac\pi{10}\lt \dfrac13}.
Vrai? Faux?
C’est vrai. En effet {\sin\dfrac\pi{10}\lt\dfrac{\pi}{10}} et {\pi\lt\dfrac{10}{3}}.

On a l’inégalité : {\cos3x=3\cos x-4\cos^{3} x}.
Vrai? Faux?
C’est faux, ne serait-ce que pour {x=0}. En fait :{\begin{array}{rl}\cos 3x&=\text{Re}\big((\cos x+i\sin x)^3\bigr)\\[6pt]&=\cos^3x-3\cos x\,\sin^2x\\[6pt]&=4\cos^3x-3\cos x\end{array}}

On a {\tan\dfrac{2\pi}{3}=-\sqrt{3}}.
Vrai? Faux?
C’est vrai car : {\sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}} et {\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}}.

On a {\tan\Big(x-\dfrac\pi4\Bigr)=\dfrac{1-\tan x}{1+\tan x}}.
Vrai? Faux?
C’est faux.
On a en fait : {\tan\Big(x-\dfrac\pi4\Bigr)=\dfrac{\tan x-1}{1+\tan x}}.

On a l’égalité {\tan(x+y)=\dfrac{\tan x+\tan y}{1+\tan x\tan y}}.
Vrai? Faux?
C’est faux.
On a en fait : {\tan(x+y)=\dfrac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}.