Problèmes de recherche Mpsi

Je partage ici des devoirs de mathématiques, considérés comme des sujets d’approfondissement, tous accompagnés d’un corrigé très détaillé. Ces devoirs sont peut-être devenus un peu difficiles avec l’évolution des programmes, mais ils peuvent intéresser des étudiants motivés.

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Logique, ensembles, applications
Naufragé sur la planète Jolik (html)
Véridiques ou menteurs (html)
Pélerinage sur la planète Zarbi (html)
Pavages et clans (sujet) (corrigé)
Filtres et ultrafiltres (sujet) (corrigé)
Itérations dans un ensemble fini (sujet) (corrigé)
Théorème de Cantor-Bernstein (html)
Équations dans P(E) (sujet) (corrigé)
Trois relations égales sur P(E) (sujet) (corrigé)
Entiers, dénombrements, récurrences
Bijections de ℕk sur ℕ (sujet) (corrigé)
Cycles et nombres de Stirling (sujet) (corrigé)
Les nombres de Catalan (sujet) (corrigé)
Nombres de Stirling, 2nde espèce (sujet) (corrigé)
Nombres réels ou complexes
Fractions continues (sujet) (corrigé)
Pépites extraites du nombre d’or (sujet) (corrigé)
Suite de Fibonacci (sujet) (corrigé)
Entiers de Gauss (sujet) (corrigé)
Homographies du plan complexe (sujet) (corrigé)
Bons exercices sur ℝ (partie 1) (partie 2) (partie 3)
Bons exercices sur ℂ (html)
Structures algébriques
Valeurs absolues sur ℚ (sujet) (corrigé)
Polynômes trigonométriques ≥0 (sujet) (corrigé)
Morphismes de sous-groupes de (ℝ,+) (html)
Sous-groupes distingués (sujet) (corrigé)
Idéaux et blocs d’un anneau  (I)  (II)  (III)
Groupes ordonnés (html)
Une structure algébrique (html)
Dérivations d’un anneau  (I)  (II)  (III)
Arithmétique
Arithmétique des anneaux intègres (sujet) (corrigé)
Structure groupes abéliens finis (sujet) (corrigé)
Extensions quadratiques de ℚ (sujet) (corrigé)
Fonctions multiplicatives (sujet) (corrigé)
Polynômes cyclotomiques (sujet) (corrigé)
Sous-groupes et arithmétique (sujet) (corrigé)
Entiers parfaits pairs (sujet) (corrigé)
Le postulat de Bertrand (sujet) (corrigé)
Inégalités de Chebyshev (sujet) (corrigé)
L’indicatrice d’Euler (sujet) (corrigé)
Géométrie, arcs du plan
Faisceaux de cercles (sujet) (corrigé)
Point de Fermat d’un triangle (sujet) (corrigé)
Droite de Simson, cercle de Miquel (sujet) (corrigé)
Théorème de Morley (sujet) (corrigé)
Exercices sur les coniques (sujet) (corrigé)
Une famille d’arcs paramétrés (sujet) (corrigé)
Développantes d’astroïde (sujet) (corrigé)
Propriétés de la cardioïde (sujet) (corrigé)
Podaires d’une parabole (sujet) (corrigé)
Étude de la deltoïde (sujet) (corrigé)