Problèmes de recherche Mpsi

Je partage ici des devoirs de mathématiques, considérés comme des sujets d’approfondissement, tous accompagnés d’un corrigé très détaillé. Ces devoirs sont peut-être devenus un peu difficiles avec l’évolution des programmes, mais ils peuvent intéresser des étudiants motivés.
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Logique, ensembles, applications
Problèmes de logique (énoncé) (corrigé)
Pavages et clans (énoncé) (corrigé)
Filtres et ultrafiltres (énoncé) (corrigé)
Itérées d’une appln d’un ensemble fini (énoncé) (corrigé)
Théorème de Cantor-Bernstein (énoncé) (corrigé)
Équations dans P(E) (énoncé) (corrigé)
Trois relations identiques dans P(E) (énoncé) (corrigé)
Véridiques menteurs et changeants (énoncé) (corrigé)
Entiers, dénombrements, récurrences
Bijections de N^k sur N (énoncé) (corrigé)
Cycles et nombres de Stirling (énoncé) (corrigé)
Encyclopédie des nombres de Catalan (énoncé) (corrigé)
Nombres de Stirling de seconde espèce (énoncé) (corrigé)
Récurrences de bon niveau (énoncé) (corrigé)
Nombres réels ou complexes
Fractions continues (énoncé) (corrigé)
Pépites extraites du nombre d’or (énoncé) (corrigé)
Suite de Fibonacci (énoncé) (corrigé)
Entiers de Gauss (énoncé) (corrigé)
Homographies du plan complexe (énoncé) (corrigé)
Exercices de bon niveau sur les réels (énoncé) (corrigé)
Structures algébriques
Valeurs absolues sur Q (énoncé) (corrigé)
Polynômes trigonométriques positifs (énoncé) (corrigé)
Sous-groupes de R+ (énoncé) (corrigé)
Sous-groupes distingués (énoncé) (corrigé)
Idéaux et blocs dans un anneau (énoncé) (corrigé)
Groupes ordonnés (énoncé) (corrigé)
Une structure algébrique (énoncé) (corrigé)
Dérivations dans un anneau (énoncé) (corrigé)
Arithmétique
Arithmétique des anneaux intègres (énoncé) (corrigé)
Structure des groupes abéliens finis (énoncé) (corrigé)
Extensions quadratiques de Q (énoncé) (corrigé)
Fonctions multiplicatives (énoncé) (corrigé)
Polynômes cyclotomiques (énoncé) (corrigé)
Sous-groupes et arithmétique (énoncé) (corrigé)
Entiers parfaits pairs (énoncé) (corrigé)
Le postulat de Bertrand (énoncé) (corrigé)
Inégalités de Chebyshev (énoncé) (corrigé)
L’indicatrice d’Euler (énoncé) (corrigé)
Géométrie, arcs du plan
Faisceaux de cercles (énoncé) (corrigé)
Point de Fermat d’un triangle (énoncé) (corrigé)
Droite de Simson et cercle de Miquel (énoncé) (corrigé)
Théorème de Morley (énoncé) (corrigé)
Exercices sur les coniques (énoncé) (corrigé)
Une famille d’arcs paramétrés (énoncé) (corrigé)
Développantes d’astroïde (énoncé) (corrigé)
Propriétés de la cardioïde (énoncé) (corrigé)
Podaires d’une parabole (énoncé) (corrigé)
Étude de la deltoïde (énoncé) (corrigé)