Je partage ici des devoirs de mathématiques, considérés comme des sujets d’approfondissement, tous accompagnés d’un corrigé très détaillé. Ces devoirs sont peut-être devenus un peu difficiles avec l’évolution des programmes, mais ils peuvent intéresser des étudiants motivés.
Problèmes, par thème
Cliquez (ou simplement survolez) le titre d’un problème pour en lire une description.
Logique, ensembles, applications
Naufragé sur la planète JolikNaufragé sur la planète Jolik, vous découvrez six astronefs abandonnés, donc a priori en mauvais état.
Chacun d’eux possède deux ordinateurs de bord. Mais attention, un ordinateur déréglé donne au moins une réponse fausse!
En fonction des messages affichés par ces ordinateurs, reconnaîtrez-vous l’aéronef capable de décoller? (html)
Véridiques ou menteursUn problème de logique, où il faut démêler qui dit la vérité et qui ment (et qui change).
Amusant et stimulant. (html)
Pélerinage sur la planète ZarbiLes habitants de la planète Zarbi sont de deux types.
Les « anciens » qui mentent le mardi, le mercredi, le jeudi, et qui disent la vérité les autres jours.
Les « modernes » qui mentent le vendredi, samedi, dimanche, et qui disent la vérité les autres jours.
Selon ce qu'il vous disent, saurez-vous deviner quel jour on est? (html)
Pavages et clansUn problème formateur pour maîtriser la rédaction mathématique sur les opérations sur les parties d'un ensemble. (sujet) (corrigé)
Filtres et ultrafiltresUn peu dans l'esprit du sujet précédent. C'est théorique et exigeant, mais c'est justement ça l'intérêt. (sujet) (corrigé)
Itérations dans un ensemble finiOn s'intéresse ici à la suite des puissances d'une fonction quelconque f d'un ensemble fini E. (sujet) (corrigé)
Théorème de Cantor-BernsteinSoit E et F deux ensembles. On suppose qu'il existe une injection f de E dans F et une injection g de F dans E. Alors il existe une bijection h de E sur F. (html)
Équations dans P(E)On résout des équations du type X∩Y=A ou X∪Y=A, où A est une partie d'une ensemble E. (sujet) (corrigé)
Trois relations égales sur P(E)Un problème où on étudie trois relations d'équivalence sur P(E), qui se révèlent identiques bien que formulées différemment. (sujet) (corrigé)
Chacun d’eux possède deux ordinateurs de bord. Mais attention, un ordinateur déréglé donne au moins une réponse fausse!
En fonction des messages affichés par ces ordinateurs, reconnaîtrez-vous l’aéronef capable de décoller? (html)
Véridiques ou menteursUn problème de logique, où il faut démêler qui dit la vérité et qui ment (et qui change).
Amusant et stimulant. (html)
Pélerinage sur la planète ZarbiLes habitants de la planète Zarbi sont de deux types.
Les « anciens » qui mentent le mardi, le mercredi, le jeudi, et qui disent la vérité les autres jours.
Les « modernes » qui mentent le vendredi, samedi, dimanche, et qui disent la vérité les autres jours.
Selon ce qu'il vous disent, saurez-vous deviner quel jour on est? (html)
Pavages et clansUn problème formateur pour maîtriser la rédaction mathématique sur les opérations sur les parties d'un ensemble. (sujet) (corrigé)
Filtres et ultrafiltresUn peu dans l'esprit du sujet précédent. C'est théorique et exigeant, mais c'est justement ça l'intérêt. (sujet) (corrigé)
Itérations dans un ensemble finiOn s'intéresse ici à la suite des puissances d'une fonction quelconque f d'un ensemble fini E. (sujet) (corrigé)
Théorème de Cantor-BernsteinSoit E et F deux ensembles. On suppose qu'il existe une injection f de E dans F et une injection g de F dans E. Alors il existe une bijection h de E sur F. (html)
Équations dans P(E)On résout des équations du type X∩Y=A ou X∪Y=A, où A est une partie d'une ensemble E. (sujet) (corrigé)
Trois relations égales sur P(E)Un problème où on étudie trois relations d'équivalence sur P(E), qui se révèlent identiques bien que formulées différemment. (sujet) (corrigé)
Entiers, dénombrements, récurrences
Bijections de ℕk sur ℕDans ce problème assez difficile mais intéressant, on explicite et on étudie des bijections de ℕk sur ℕ.
(sujet)
(corrigé)
Cycles et nombres de StirlingCe problème très complet, assez technique, et formateur, étudie les nombres de Stirling de première espèce dans le cadre de la décomposition d'une permutation en cycles. (sujet) (corrigé)
Les nombres de CatalanLes nombres de Catalan apparaissent dans de très nombreux problèmes combinatoires. Ce problème propose une exploration très complète sur le sujet. (sujet) (corrigé)
Nombres de Stirling, 2nde espèceCe problème étudie les nombres de Stirling de seconde espèce dans le cadre du nombre du nombre de partitions d'un ensemble fini. (sujet) (corrigé)
Cycles et nombres de StirlingCe problème très complet, assez technique, et formateur, étudie les nombres de Stirling de première espèce dans le cadre de la décomposition d'une permutation en cycles. (sujet) (corrigé)
Les nombres de CatalanLes nombres de Catalan apparaissent dans de très nombreux problèmes combinatoires. Ce problème propose une exploration très complète sur le sujet. (sujet) (corrigé)
Nombres de Stirling, 2nde espèceCe problème étudie les nombres de Stirling de seconde espèce dans le cadre du nombre du nombre de partitions d'un ensemble fini. (sujet) (corrigé)
Nombres réels ou complexes
Fractions continuesCe sujet assez long est consacré à la notion de développement d'un réel en fraction continue.
On établit la convergence rapide des réduites successives, et on s'intéresse (entre autres) à la caractérisation des développements périodiques. (sujet) (corrigé)
Pépites extraites du nombre d’orCe problème intéressant porte sur quelques-unes des innombrables situations où apparaît le nombre d'or. (sujet) (corrigé)
Suite de FibonacciLa suite de Fibonacci est bien connue, et ce problème aborde des situations parfois inattendues où les termes de cette suite interviennent. (sujet) (corrigé)
Entiers de GaussCe problème d'arithmétique très (très) complet porte sur l'anneau des entiers de Gauss (les complexes z=a+ib, avec a,b entiers relatifs). (sujet) (corrigé)
Homographies du plan complexeCe problème assez difficile propose un tour d'horizon assez complet des homographies du plan complexe. (sujet) (corrigé)
Bons exercices sur ℝOn trouvera ici 17 exercices variés et de très bon niveau sur le thème des nombres réels. (partie 1) (partie 2) (partie 3)
Bons exercices sur ℂOn trouvera ici 6 exercices variés et de très bon niveau sur le thème des nombres complexes. (html)
On établit la convergence rapide des réduites successives, et on s'intéresse (entre autres) à la caractérisation des développements périodiques. (sujet) (corrigé)
Pépites extraites du nombre d’orCe problème intéressant porte sur quelques-unes des innombrables situations où apparaît le nombre d'or. (sujet) (corrigé)
Suite de FibonacciLa suite de Fibonacci est bien connue, et ce problème aborde des situations parfois inattendues où les termes de cette suite interviennent. (sujet) (corrigé)
Entiers de GaussCe problème d'arithmétique très (très) complet porte sur l'anneau des entiers de Gauss (les complexes z=a+ib, avec a,b entiers relatifs). (sujet) (corrigé)
Homographies du plan complexeCe problème assez difficile propose un tour d'horizon assez complet des homographies du plan complexe. (sujet) (corrigé)
Bons exercices sur ℝOn trouvera ici 17 exercices variés et de très bon niveau sur le thème des nombres réels. (partie 1) (partie 2) (partie 3)
Bons exercices sur ℂOn trouvera ici 6 exercices variés et de très bon niveau sur le thème des nombres complexes. (html)
Structures algébriques
Valeurs absolues sur ℚOn étudie les applications de l'ensemble ℚ qui vérifient μ(r+s)≤μ(r)+μ(s) et μ(rs)=μ(r)μ(s).
(sujet)
(corrigé)
Polynômes trigonométriques ≥0Un très beau problème, où on étudie les fonctions x → ∑ckeikx qui sont à valeurs réelles positives. (sujet) (corrigé)
Morphismes de sous-groupes de (ℝ,+)Dans une première partie, on décrit les sous-groupes de ℝ+.
Dans une deuxième partie, on décrit les morphismes croissants d'un sous-groupe de ℝ+ dans ℝ+. (html)
Sous-groupes distinguésDans ce problème très complet, on définit la notion de sous-groupe distingué et on donne des exemples.
On étudie le centre d'un groupe, le produit de deux sous-groupes, et le quotient d'un groupe par un sous-groupe distingué. (sujet) (corrigé)
Idéaux et blocs d’un anneauCe sujet est consacré à la notion d'idéal et de bloc dans un anneau.
On étudie les propriétés classiques des idéaux (radical, anneau-quotient).
La problème est divisé en trois parties. (I) (II) (III)
Groupes ordonnésCe sujet porte sur la notion de groupe ordonné, c'est-à-dire muni d'une relation d'ordre compatible avec la loi du groupe. (html)
Une structure algébriqueDans ce sujet, on étudie une loi de composition définie sur un ensemble E, vérifiant certaines conditions, et on en déduit une loi de groupe sur E. (html)
Dérivations d’un anneauCe problème est consacré à la notion de dérivation d'un anneau non commutatif.
On étudie les propriétés générales de ces dérivations, et on donne quelques exemples.
Le problème est divisé en trois parties. (I) (II) (III)
Polynômes trigonométriques ≥0Un très beau problème, où on étudie les fonctions x → ∑ckeikx qui sont à valeurs réelles positives. (sujet) (corrigé)
Morphismes de sous-groupes de (ℝ,+)Dans une première partie, on décrit les sous-groupes de ℝ+.
Dans une deuxième partie, on décrit les morphismes croissants d'un sous-groupe de ℝ+ dans ℝ+. (html)
Sous-groupes distinguésDans ce problème très complet, on définit la notion de sous-groupe distingué et on donne des exemples.
On étudie le centre d'un groupe, le produit de deux sous-groupes, et le quotient d'un groupe par un sous-groupe distingué. (sujet) (corrigé)
Idéaux et blocs d’un anneauCe sujet est consacré à la notion d'idéal et de bloc dans un anneau.
On étudie les propriétés classiques des idéaux (radical, anneau-quotient).
La problème est divisé en trois parties. (I) (II) (III)
Groupes ordonnésCe sujet porte sur la notion de groupe ordonné, c'est-à-dire muni d'une relation d'ordre compatible avec la loi du groupe. (html)
Une structure algébriqueDans ce sujet, on étudie une loi de composition définie sur un ensemble E, vérifiant certaines conditions, et on en déduit une loi de groupe sur E. (html)
Dérivations d’un anneauCe problème est consacré à la notion de dérivation d'un anneau non commutatif.
On étudie les propriétés générales de ces dérivations, et on donne quelques exemples.
Le problème est divisé en trois parties. (I) (II) (III)
Arithmétique
Arithmétique des anneaux intègresUn problème très (très) complet, et exigeant.
On y étudie d'abord certains sous-anneaux intègres de ℂ.
On généralise à tous les anneaux intègres les notions de divisibilité, de pgcd, de ppcm, et d'éléments irréductibles.
Dans une dernière partie, on étudie les anneaux factoriels. (sujet) (corrigé)
Structure groupes abéliens finisDans ce très beau problème, on étudie les caractères, l'exposant, et la décomposition d'un groupe abélien fini.
On en arrive à une théorème de structure des groupes abéliens finis. (sujet) (corrigé)
Extensions quadratiques de ℚCe problème est consacré à l'étude des extensions quadratiques du corps ℚ des rationnels.
Cela débouche sur des critères qui permettent d'affirmer l'irrationnalité de certaines catégories de nombres réels. (sujet) (corrigé)
Fonctions multiplicativesCe très beau (et très long) sujet porte sur les propriétés desonctions arithmétiques multiplicatives.
On voit les exemples classiques, et le produit de Dirichlet.
On démontre la formule d'inversion de Moebius.
On étudie l'indicateur d'Euler, et on termine par des formules asymptotiques. (sujet) (corrigé)
Polynômes cyclotomiquesCe problème très complet et exigeant étudie les propriétés arithmétiques des polynômes cyclotomiques (relations, coefficients, irréductibilité, etc.) (sujet) (corrigé)
Sous-groupes et arithmétiqueCe sujet est formé de trois exercices indépendants, de bon niveau, sur le thème des sous-groupes et de l'arithmétique. (sujet) (corrigé)
Entiers parfaits pairsLe but de ce problème est la recherche des nombres parfaits pairs.
On étudie pour cela les propriétés de la fonction somme des diviseurs. (sujet) (corrigé)
Le postulat de BertrandL'objet de ce beau problème d'arithmétique est de montrer le postulat de Bertrand : pour tout entier n≥2, il existe au moins un entier premier p tel que n≤p≤2n. (sujet) (corrigé)
Inégalités de ChebyshevDans ce sujet, on établit un encadrement de la fonction π(x) (nombre d'entiers premiers inférieurs ou égaux à x).
On en déduit la divergence de la série des inverses des nombres premiers.
On termine par un encadrement du n-ième nombre premier. (sujet) (corrigé)
L’indicatrice d’EulerCe problème est consacré aux propriétés de la célèbre fonction indicatrice d'Euler (sujet) (corrigé)
On y étudie d'abord certains sous-anneaux intègres de ℂ.
On généralise à tous les anneaux intègres les notions de divisibilité, de pgcd, de ppcm, et d'éléments irréductibles.
Dans une dernière partie, on étudie les anneaux factoriels. (sujet) (corrigé)
Structure groupes abéliens finisDans ce très beau problème, on étudie les caractères, l'exposant, et la décomposition d'un groupe abélien fini.
On en arrive à une théorème de structure des groupes abéliens finis. (sujet) (corrigé)
Extensions quadratiques de ℚCe problème est consacré à l'étude des extensions quadratiques du corps ℚ des rationnels.
Cela débouche sur des critères qui permettent d'affirmer l'irrationnalité de certaines catégories de nombres réels. (sujet) (corrigé)
Fonctions multiplicativesCe très beau (et très long) sujet porte sur les propriétés desonctions arithmétiques multiplicatives.
On voit les exemples classiques, et le produit de Dirichlet.
On démontre la formule d'inversion de Moebius.
On étudie l'indicateur d'Euler, et on termine par des formules asymptotiques. (sujet) (corrigé)
Polynômes cyclotomiquesCe problème très complet et exigeant étudie les propriétés arithmétiques des polynômes cyclotomiques (relations, coefficients, irréductibilité, etc.) (sujet) (corrigé)
Sous-groupes et arithmétiqueCe sujet est formé de trois exercices indépendants, de bon niveau, sur le thème des sous-groupes et de l'arithmétique. (sujet) (corrigé)
Entiers parfaits pairsLe but de ce problème est la recherche des nombres parfaits pairs.
On étudie pour cela les propriétés de la fonction somme des diviseurs. (sujet) (corrigé)
Le postulat de BertrandL'objet de ce beau problème d'arithmétique est de montrer le postulat de Bertrand : pour tout entier n≥2, il existe au moins un entier premier p tel que n≤p≤2n. (sujet) (corrigé)
Inégalités de ChebyshevDans ce sujet, on établit un encadrement de la fonction π(x) (nombre d'entiers premiers inférieurs ou égaux à x).
On en déduit la divergence de la série des inverses des nombres premiers.
On termine par un encadrement du n-ième nombre premier. (sujet) (corrigé)
L’indicatrice d’EulerCe problème est consacré aux propriétés de la célèbre fonction indicatrice d'Euler (sujet) (corrigé)
Géométrie, arcs du plan
Faisceaux de cerclesOn décrit les propriétés des cercles orthogonaux dans le plan.
On étudie ensuite l'axe radical de deux cercles.
On termine par une description des faisceaux de cercles. (sujet) (corrigé)
Point de Fermat d’un triangleOn étudie le point de Fermat d'un triangle ABC, c'est-à-dire le point O qui minimise la somme des distances OA+OB+OC. (sujet) (corrigé)
Droite de Simson, cercle de MiquelDans ce problème exigeant, on réhabilite quelques notions anciennes de géométrie du plan. (sujet) (corrigé)
Théorème de MorleyLe théorème de Morley est un des joyaux de la géométrie du plan.
On en donne ici cinq démonstrations très différentes. (sujet) (corrigé)
Exercices sur les coniquesCe sujet est composé de cinq exercices indépendants sur les coniques (paraboles, ellipses, hyperboles) du plan. (sujet) (corrigé)
Une famille d’arcs paramétrésOn étudie ici une famille de courbes unicursales dépendant d'un paramètre. (sujet) (corrigé)
Développantes d’astroïdeUn joli (mais désuet) problème de géométrie différentielle du plan, où on étudie les développantes d'une astroïde. (sujet) (corrigé)
Propriétés de la cardioïdeLa cardioïde est une courbe (qui fut) célèbre.
On en étudie ici les principales propriétés.
On fait même rouler une cardioïde sur une cycloïde. (sujet) (corrigé)
Podaires d’une paraboleLa podaire d'une parabole par rapport à un point A est l'ensemble des projections orthogonales de A sur les tangentes à cette parabole. (sujet) (corrigé)
Étude de la deltoïdeUn sujet de géométrie différentielle sur une courbe plane (qui fut) bien connue. (sujet) (corrigé)
On étudie ensuite l'axe radical de deux cercles.
On termine par une description des faisceaux de cercles. (sujet) (corrigé)
Point de Fermat d’un triangleOn étudie le point de Fermat d'un triangle ABC, c'est-à-dire le point O qui minimise la somme des distances OA+OB+OC. (sujet) (corrigé)
Droite de Simson, cercle de MiquelDans ce problème exigeant, on réhabilite quelques notions anciennes de géométrie du plan. (sujet) (corrigé)
Théorème de MorleyLe théorème de Morley est un des joyaux de la géométrie du plan.
On en donne ici cinq démonstrations très différentes. (sujet) (corrigé)
Exercices sur les coniquesCe sujet est composé de cinq exercices indépendants sur les coniques (paraboles, ellipses, hyperboles) du plan. (sujet) (corrigé)
Une famille d’arcs paramétrésOn étudie ici une famille de courbes unicursales dépendant d'un paramètre. (sujet) (corrigé)
Développantes d’astroïdeUn joli (mais désuet) problème de géométrie différentielle du plan, où on étudie les développantes d'une astroïde. (sujet) (corrigé)
Propriétés de la cardioïdeLa cardioïde est une courbe (qui fut) célèbre.
On en étudie ici les principales propriétés.
On fait même rouler une cardioïde sur une cycloïde. (sujet) (corrigé)
Podaires d’une paraboleLa podaire d'une parabole par rapport à un point A est l'ensemble des projections orthogonales de A sur les tangentes à cette parabole. (sujet) (corrigé)
Étude de la deltoïdeUn sujet de géométrie différentielle sur une courbe plane (qui fut) bien connue. (sujet) (corrigé)