Exercice 1.
Soient {\alpha} et {\beta} deux nombres irrationnels strictement positifs tels que {\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=1}.
Soit {A=\{[n\alpha],\;n\in\mathbb{N}^*\}} et {B=\{[n\beta],\;n\in\mathbb{N}^*\}}.
Montrer que {A,B} forment une partition de {\mathbb{N}^*}.
|
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
☞
Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc.
Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une
souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Exercice 2.
On pose {E=\{2^p3^q,\; (p,q)\in\mathbb{Z}^2\}}.
Montrer que {E} est dense dans {\mathbb{R}^+}.
|
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
☞
Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc.
Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une
souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Exercice 3.
On note {f(n)} le plus grand diviseur impair de {n}.
Montrer que : {\forall\, n\ge1,\;\Big|\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{f(k)}{k}-\dfrac{2n}{3}\Big|\lt 1}.
|
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
☞
Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc.
Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une
souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Exercice 4.
Soit {(a,b,c)} dans {\mathbb{R}^*\times\mathbb{R}^2}, tels que :{\forall\,x\in[-1,1],\;\left|ax^2+bx+c\right|\le1}Montrer que {\left|b\right|\le8} et que cette inégalité ne peut pas être améliorée.
|
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
☞
Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc.
Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une
souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Exercice 5.
Trouver les fonctions {f} de {E=\mathbb{R}\setminus\{0,1\}} dans {\mathbb{R}} telles que :{\forall\, x\in E,\; f(x)+f\Bigl(1-\dfrac1x\Bigr)=1+x} |
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
☞
Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc.
Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une
souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Exercice 6.
Déterminer les applications {f :\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}} telle que : {\forall\, x\in\mathbb{R},\; f(x)+xf(1-x)=1+x} |
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
☞
Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc.
Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une
souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).