Exercices relevés sur les réels (2)

Exercice 1.
Soient {\alpha} et {\beta} deux nombres irrationnels strictement positifs tels que {\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=1}.
Soit {A=\{[n\alpha],\;n\in\mathbb{N}^*\}} et {B=\{[n\beta],\;n\in\mathbb{N}^*\}}.
Montrer que {A,B} forment une partition de {\mathbb{N}^*}.
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Exercice 2.
On pose {E=\{2^p3^q,\; (p,q)\in\mathbb{Z}^2\}}.
Montrer que {E} est dense dans {\mathbb{R}^+}.
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Exercice 3.
On note {f(n)} le plus grand diviseur impair de {n}.
Montrer que : {\forall\, n\ge1,\;\Big|\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{f(k)}{k}-\dfrac{2n}{3}\Big|\lt 1}.
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Exercice 4.
Soit {(a,b,c)} dans {\mathbb{R}^*\times\mathbb{R}^2}, tels que :{\forall\,x\in[-1,1],\;\left|ax^2+bx+c\right|\le1}Montrer que {\left|b\right|\le8} et que cette inégalité ne peut pas être améliorée.
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Exercice 5.
Trouver les fonctions {f} de {E=\mathbb{R}\setminus\{0,1\}} dans {\mathbb{R}} telles que :{\forall\, x\in E,\; f(x)+f\Bigl(1-\dfrac1x\Bigr)=1+x}
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Exercice 6.
Déterminer les applications {f :\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}} telle que : {\forall\, x\in\mathbb{R},\; f(x)+xf(1-x)=1+x}
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