Le théorème de Cantor-Bernstein

Dans ce problème, on va démontrer le théorème de Cantor-Bernstein:

Soit ${E}$ et ${F}$ deux ensembles. On suppose qu’il existe une injection ${f}$ de ${E}$ dans ${F}$ et une injection ${g}$ de ${F}$ dans ${E}$ . Alors il existe une bijection ${h}$ de ${E}$ sur ${F}$

Avec les notations précédentes, on note ${\varphi=g\circ f}$ : cette application est donc injective de ${E}$ dans lui-même.

Soit ${\overline{g(F)}}$ le complémentaire de ${g(F)}$ dans ${E}$ , c’est-à-dire l’ensemble des éléments de ${E}$ qui ne sont l’image par ${g}$ d’aucun élément de ${F}$ .

On note ${\mathcal E}$ l’ensemble de toutes les parties ${X}$ de ${E}$ qui contienent à la fois ${\overline{g(F)}}$ et ${\varphi(X)}$ .

Bien entendu ${E}$ lui-même est un élément de ${\mathcal E}$ .

Question 1.
On note

{K}

l’intersection de tous les éléments de

{\mathcal E}

.
Montrer que

{K}

est un élément de

{\mathcal E}

.
Indication : par définition, l’ensemble

{K}

est inclus dans tous les éléments

{X}

{\mathcal E}

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Question 2.
Soit

{\widehat{K}=\overline{g(F)}\cup\varphi(K)}

: le résultat de la question précédente s’écrit donc

{\widehat{K}\subset K}

.
Montrer que

{\overline{g(F)}\cup\varphi(\widehat{K})\subset\widehat{K}}

.
En déduire que

{\widehat{K}}

est élément de

{\mathcal E}

, et que

{\widehat K=K}

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Question 3.
Montrer que

{\overset{-1}{g}(K)}

(l’image réciproque de

{K}

par

{g}

) est égale à

{f(K)}

.
Indication :

{g}

étant injective, on a

{\overset{-1}{g}(g(Y))=Y}

pour toute partie

{Y}

{F}

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Question 4.
Pour tout

{x}

{K}

, on pose

{h(x)=f(x)}

.
Pour tout

{x}

{\overline{K}}

{h(x)}

désigne l’unique antécédent de

{x}

par

{g}

(justifier son existence.)
On définit ainsi une application

{h}

{E}

dans

{F}

. Montrer que

{h}

est bijective.
(Indication : on prouvera successivement la surjectivité et l’injectivité de

{h}

, en discutant suivant la position dans

{E}

{F}

, des éléments concernés).

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Question 5.
Conclusion?

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