Le théorème de Cantor-Bernstein

Dans ce problème, on va démontrer le théorème de Cantor-Bernstein:

Soit {E} et {F} deux ensembles. On suppose qu’il existe une injection {f} de {E} dans {F} et une injection {g} de {F} dans {E}. Alors il existe une bijection {h} de {E} sur {F}

Avec les notations précédentes, on note {\varphi=g\circ f} : cette application est donc injective de {E} dans lui-même.

Soit {\overline{g(F)}} le complémentaire de {g(F)} dans {E}, c’est-à-dire l’ensemble des éléments de {E} qui ne sont l’image par {g} d’aucun élément de {F}.

On note {\mathcal E} l’ensemble de toutes les parties {X} de {E} qui contienent à la fois {\overline{g(F)}} et {\varphi(X)}.

Bien entendu {E} lui-même est un élément de {\mathcal E}.

Question 1.
On note {K} l’intersection de tous les éléments de {\mathcal E}.
Montrer que {K} est un élément de {\mathcal E}.
Indication : par définition, l’ensemble {K} est inclus dans tous les éléments {X} de {\mathcal E}.
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Question 2.
Soit {\widehat{K}=\overline{g(F)}\cup\varphi(K)} : le résultat de la question précédente s’écrit donc {\widehat{K}\subset K}.
Montrer que {\overline{g(F)}\cup\varphi(\widehat{K})\subset\widehat{K}}.
En déduire que {\widehat{K}} est élément de {\mathcal E}, et que {\widehat K=K}.
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Question 3.
Montrer que {\overset{-1}{g}(K)} (l’image réciproque de {K} par {g}) est égale à {f(K)}.
Indication : {g} étant injective, on a {\overset{-1}{g}(g(Y))=Y} pour toute partie {Y} de {F}.
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Question 4.
Pour tout {x} de {K}, on pose {h(x)=f(x)}.
Pour tout {x} de {\overline{K}}, {h(x)} désigne l’unique antécédent de {x} par {g} (justifier son existence.)
On définit ainsi une application {h} de {E} dans {F}. Montrer que {h} est bijective.
(Indication : on prouvera successivement la surjectivité et l’injectivité de {h}, en discutant suivant la position dans {E} ou {F}, des éléments concernés).
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Question 5.
Conclusion?
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