Dérivations d’un anneau (1/3)

Partie I | Partie II | Partie III


Soit {(A,+,.)} un anneau (non supposé commutatif).

On note 1 le neutre multiplicatif et 0 le neutre additif.

On dit que {\delta :A\to A} est une dérivation si :
{\forall\,a,b\in A,\;\begin{cases}\delta(a+b)=\delta(a)+\delta(b)\quad (H_1)\cr \delta(ab)=\delta(a)b+a\delta(b)\quad (H_2)\end{cases} }

PARTIE I

On se donne une dérivation {\delta} de {A}.

Question I.1
Montrer que {\delta(0)=\delta(1)=0}.
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Question I.2
Soit {a} un élément inversible de {A}.
Montrer que {\delta(a^{-1})=-a^{-1}\delta(a)a^{-1}}.
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On note {D_{\delta}=\{a\in A,\;\delta(a)=0\}}.

Question I.3.a
Montrer que {D_{\delta}} est un sous-anneau de {A}.
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Question I.3.b
Montrer que si {A} est un corps, alors {D_{\delta}} est un sous-corps de {A}.
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Question I.4
Soient {a_1,a_2,\ldots,a_n} dand {A}, avec {n\ge2}.
Calculer {\delta(a_1a_2\cdots a_n)} en fonction des {a_k} et {\delta(a_k)}.
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Question I.5
En déduire {\delta(a^n)} pour tout {a} de {A} et tout {n\ge2}.
Que devient cette formule si {A} est commutatif?
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Question I.6
On pose {\begin{cases}\delta^0=\text{Id}_A\\\delta^1=\delta\end{cases}} et : {\forall\,n\geq1,\;\delta^n=\delta\circ\delta^{n-1}}.

Montrer la formule de Leibniz :{\begin{cases}\forall\,a,b\in A\\\forall\,n\in \mathbb{N}\end{cases},\;\delta^n(ab)=\displaystyle\sum_{p=0}^n\dbinom{n}{p}\,\delta^p(a)\,\delta^{n-p}(b)}

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