Dérivations d’un anneau (3/3)

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PARTIE III

Pour {a\in A}, on note : {\forall\,x\in A}, {d_a(x)=ax-xa}.

Question III.1
Montrer que {d_a} est une dérivation de {A}.
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Question III.2
Montrer que, pour {n\in \mathbb{N}\;\text{et}\;\forall\,a\in A} : {d_a^n(x)=\displaystyle\sum_{p=0}^n(-1)^p\dbinom{n}{p}\,a^{n-p}\,x\,a^p}
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Question III.3
En déduire que si {a} est nilpotent, alors
il existe un entier {m} tel que {d_a^m=0_A}.
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Dans la suite, {a,b} sont quelconques dans {A}

Question III.4.a
Montrer que pour toute dérivation {\delta} :
{[\delta,d_a]=d_{\delta(a)}}.
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Question III.4.b
On pose {[b,a]=ba-ab}.
Montrer que {[d_b,d_a]=d_{[b,a]}}.
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