Idéaux et blocs d’un anneau (3/3)

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Partie III. Idéal et relation d’équivalence

Soit {I} un idéal de {A}.

On définit une relation sur {A} par {a\,\mathcal{R}\,b\Leftrightarrow b-a\in I}.

Soit {\mathcal{B}_I} l’ensemble des blocs de {A} de direction {I}, c’est-à-dire des {I_t=t+I}, avec {t} dans {A}.

Question III.1
Montrer que {\mathcal{R}} est une relation d’équivalence sur {A}.
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Question III.2
Prouver que les classes d’équivalence de {A} pour {\mathcal{R}} sont les {I_t}, avec {t} dans {A}.
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Question III.3
Montrer que {\mathcal{B}_I} est un anneau commutatif quand on le munit des opérations suivantes (dont on justifiera qu’elles ont un sens) : {\forall\, (t,u)\in A^2,\;I_t+I_u=I_{t+u}\;\text{et}\;I_tI_u=I_{tu}}
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Question III.4
Montrer que {\mathcal{B}_{I}} est un corps si et seulement {I} est inclus dans exactement deux idéaux de {A} ({I} et lui-même).