Idéaux et blocs d'un anneau (3/3)

Partie I | Partie II | Partie III

Soit ${I}$ un idéal de ${A}$ .

On définit une relation sur ${A}$ par ${a\,\mathcal{R}\,b\Leftrightarrow b-a\in I}$ .

Soit ${\mathcal{B}_I}$ l’ensemble des blocs de ${A}$ de direction ${I}$ , c’est-à-dire des ${I_t=t+I}$ , avec ${t}$ dans ${A}$ .

Question III.1
Montrer que

{\mathcal{R}}

est une relation d’équivalence sur

{A}

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Question III.2
Prouver que les classes d’équivalence de

{A}

pour

{\mathcal{R}}

sont les

{I_t}

, avec

{t}

dans

{A}

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Question III.3
Montrer que

{\mathcal{B}_I}

est un anneau commutatif quand on le munit des opérations suivantes (dont on justifiera qu’elles ont un sens) :

{\forall\, (t,u)\in A^2,\;I_t+I_u=I_{t+u}\;\text{et}\;I_tI_u=I_{tu}}

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Question III.4
Montrer que

{\mathcal{B}_{I}}

est un corps si et seulement

{I}

est inclus dans exactement deux idéaux de

{A}

(

{I}

et lui-même).