Partie III. Idéal et relation d’équivalence
Soit {I} un idéal de {A}.
On définit une relation sur {A} par {a\,\mathcal{R}\,b\Leftrightarrow b-a\in I}.
Soit {\mathcal{B}_I} l’ensemble des blocs de {A} de direction {I}, c’est-à-dire des {I_t=t+I}, avec {t} dans {A}.
Question III.1
Montrer que {\mathcal{R}} est une relation d’équivalence sur {A}.
|
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
☞
Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc.
Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une
souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question III.2
Prouver que les classes d’équivalence de {A} pour {\mathcal{R}} sont les {I_t}, avec {t} dans {A}.
|
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
☞
Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc.
Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une
souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question III.3
Montrer que {\mathcal{B}_I} est un anneau commutatif quand on le munit des opérations suivantes (dont on justifiera qu’elles ont un sens) : {\forall\, (t,u)\in A^2,\;I_t+I_u=I_{t+u}\;\text{et}\;I_tI_u=I_{tu}} |
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
☞
Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc.
Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une
souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question III.4
Montrer que {\mathcal{B}_{I}} est un corps si et seulement {I} est inclus dans exactement deux idéaux de {A} ({I} et lui-même).
|