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Partie III. Idéal et relation d’équivalence
Soit {I} un idéal de {A}.
On définit une relation sur {A} par {a\,\mathcal{R}\,b\Leftrightarrow b-a\in I}.
Soit {\mathcal{B}_I} l’ensemble des blocs de {A} de direction {I}, c’est-à-dire des {I_t=t+I}, avec {t} dans {A}.
Question III.1 Montrer que {\mathcal{R}} est une relation d’équivalence sur {A}. |
Question III.2 Prouver que les classes d’équivalence de {A} pour {\mathcal{R}} sont les {I_t}, avec {t} dans {A}. |
Question III.3 Montrer que {\mathcal{B}_I} est un anneau commutatif quand on le munit des opérations suivantes (dont on justifiera qu’elles ont un sens) : {\forall\, (t,u)\in A^2,\;I_t+I_u=I_{t+u}\;\text{et}\;I_tI_u=I_{tu}} |
Question III.4 Montrer que {\mathcal{B}_{I}} est un corps si et seulement {I} est inclus dans exactement deux idéaux de {A} ({I} et lui-même). |