Idéaux et blocs d’un anneau (2/3)

Partie I | Partie II | Partie III


Partie II. Généralités sur les blocs

Question II.1
Montrer que tout idéal est un bloc.
Vérifier que tout singleton est un bloc.
Montrer qu’un bloc est un idéal si et seulement s’il contient {0}.
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Question II.2
Soit {B} un bloc de {A}, et soit {t} un élément de {A}.
On note {B\!+\!t=\{b\!+\!t,\;b\in B\}}.
Montrer que {B\!+\!t} est un bloc de {A}.
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Question II.3
Montrer qu’une partie {B} de {A} est un bloc si et seulement s’il existe {t\in A} et un idéal {I} de {A} tels que {B=I\!+\!t} (voir notations précédentes).
Vérifier alors qu’à {B} fixé l’idéal {I} est unique, et que {B=I+t\Leftrightarrow t\in B}.
On dit que l’idéal {I} est la direction du bloc {B}.
Vérifier que {I+t=I+t'\Leftrightarrow t'-t\in I}.
Quels sont les blocs de l’anneau {\mathbb{Z}}?
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Question II.4
Montrer que si {B} et {C} sont des blocs il en est de même de {B+C}.
À quelle condition {B\cap C} est-il un bloc?
Montrer sur un exemple qu’on ne peut pas généraliser aux blocs le résultat de {(I.4.a)}.
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Question II.5
Soit {f :A\to A'} un morphisme d’anneaux commutatifs.
Soit {B'} un bloc de {A'}. Montrer que si {B=\overset{-1}{f}(B')} est non vide, c’est un bloc de {A}.
Montrer que pour tout {b} de {\text{Im}(f)}, l’ensemble {\{x\in A,\; f(x)=b\}} est un bloc de {A}.
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