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Partie II. Généralités sur les blocs
| Question II.1 Montrer que tout idéal est un bloc. Vérifier que tout singleton est un bloc. Montrer qu’un bloc est un idéal si et seulement s’il contient {0}. |
| Question II.2 Soit {B} un bloc de {A}, et soit {t} un élément de {A}. On note {B\!+\!t=\{b\!+\!t,\;b\in B\}}. Montrer que {B\!+\!t} est un bloc de {A}. |
| Question II.3 Montrer qu’une partie {B} de {A} est un bloc si et seulement s’il existe {t\in A} et un idéal {I} de {A} tels que {B=I\!+\!t} (voir notations précédentes). Vérifier alors qu’à {B} fixé l’idéal {I} est unique, et que {B=I+t\Leftrightarrow t\in B}. On dit que l’idéal {I} est la direction du bloc {B}. Vérifier que {I+t=I+t'\Leftrightarrow t'-t\in I}. Quels sont les blocs de l’anneau {\mathbb{Z}}? |
| Question II.4 Montrer que si {B} et {C} sont des blocs il en est de même de {B+C}. À quelle condition {B\cap C} est-il un bloc? Montrer sur un exemple qu’on ne peut pas généraliser aux blocs le résultat de {(I.4.a)}. |
| Question II.5 Soit {f :A\to A'} un morphisme d’anneaux commutatifs. Soit {B'} un bloc de {A'}. Montrer que si {B=\overset{-1}{f}(B')} est non vide, c’est un bloc de {A}. Montrer que pour tout {b} de {\text{Im}(f)}, l’ensemble {\{x\in A,\; f(x)=b\}} est un bloc de {A}. |