Idéaux et blocs d’un anneau (1/3)

Partie I | Partie II | Partie III


Dans ce problème, {A} est un anneau commutatif.

  • On dit qu’une partie non vide {I} de {A} est un idéal si :
    {\forall\,(x,y)\in I^2,\;\forall\, a\in A,\;a(x-y)\in I}
  • On dit qu’une partie non vide {B} de {A} est un bloc :
    {\forall\,(x,y,z)\in B^3,\forall\,a\in A,\;a(x-y)+z\in B}

Partie I. Généralités sur les idéaux

Question I.1
Vérifier que {\{0\}} et {A} sont deux idéaux de {A} (on les appelle les « idéaux triviaux »).
Montrer qu’un idéal {I} de {A} est un sous-groupe de {(A,+)}. Préciser les idéaux de {\mathbb{Z}}.
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Question I.2
Soit {I} un idéal de {A}.
Montrer que {\forall\, (a,x)\in A\times I,\; ax\in I}.
Si {I} contient un inversible de {A}, montrer que {I=A}.
Décrire les idéaux d’un corps.
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Question I.3
Soient {I} et {J} deux idéaux de {A}. On pose {I+J=\{x+y,\;x\in I,\;y\in J\}}.
Montrer que {I\cap J} et {I+J} sont des idéaux de {A}.
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Soit {I} un idéal de {A}. On note :{\sqrt{I}=\{x\in A,\;\exists\, n\in\mathbb{N}^*,\; x^n\in I\}}On dit que {\sqrt{I}} est le radical de {I}.


Question I.4.a
Montrer que {\sqrt I} est un idéal de {A} qui contient {I}.
Préciser {\sqrt{A}} et interpréter {\sqrt{\{0\}}}.
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Question I.4.b
Pour tous idéaux {I,J} de {A}, montrer que :{\sqrt{I\cap J}=\sqrt{I}\cap\sqrt{J}\;\text{et}\;\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}}
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Question I.4.c
Quels sont les idéaux de {\mathbb{Z}} tels que {\sqrt{I}=I}? Simplifier {\sqrt{360\mathbb{Z}}}.
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