Exercices relevés sur les complexes

Exercice 1.
Quel est le maximum de {\left|z^3-z+2\right|} pour {\left|{z}\right|=1}, et quand est-il atteint?
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Exercice 2.
Soit {U_n=\{\omega_0,\omega_1,\ldots,\omega_{n-1}\}} les racines {n}-ièmes de l’unité, où {\omega_k=\exp\dfrac{2ik\pi}{n}}.

  1. Pour {0\!\le\! q\!\lt\! n}, montrer : {\displaystyle\prod_{p=0\atop p\ne q}^{n-1}(\omega_q-\omega_p)=\dfrac{n}{\omega_q}}
    (commencer par traiter le cas {q=0})
  2. En déduire {\displaystyle\prod_{p\ne q}(\omega_q-\omega_p)^2} où le produit est étendu aux {(p,q)} vérifiant {\begin{cases}0\le p\lt n\cr 0\le q\lt n\cr p\ne q\end{cases}}

    Calculer enfin le produit {\displaystyle\prod_{0\le p\lt q\le n}(\omega_q-\omega_p)^4}.

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Exercice 3.
Montrer : {\forall\,x\in\mathbb{R},\;\forall\,n\in\mathbb{N}^*,\;\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\Bigl(1+2\cos\dfrac{2x}{3^k}\Bigr)=\dfrac{\sin x}{\sin\dfrac{x}{3^n}}}
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Exercice 4.
On se donne {a} et {b} dans {\mathbb{C}} et on pose {P(z)=z^2+az+b} pour tout {z} de {\mathbb{C}}.
On suppose que : {\left|z\right|=1\Rightarrow\left|P(z)\right|=1}.
Montrer que {a=b=0}.
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Exercice 5.
Soit {\Omega} le centre d’un polygône régulier convexe de sommets {A_1,A_2,\ldots,A_n}.
Soit {M} un point de la demi-droite {[\Omega,A_1[}, extérieur au polygône. Montrer que {\displaystyle\prod_{k=1}^{n}d(A_k,M)=d(\Omega,M)^n-d(\Omega,A_1)^n}
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Exercice 6.
Pour quels {(a,b)\in\mathbb{R}^2} les racines de {z^2+2az+b} sont-elles de module {\le 1} ?
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