Exercices relevés sur les réels (3)

Exercice 1.
Soient {a,b,c} dans {\mathbb{Z}} (non tous nuls).
On suppose {\left|a\right|,\left|b\right|,\left|c\right|\lt 10^6}.
Prouver {\left|a+b\sqrt2+c\sqrt3\right|>10^{-20}}.
Montrer qu’il existe de tels entiers tels que :{\left|a+b\sqrt2+c\sqrt3\right|\lt 10^{-11}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Exercice 2.
Trouver le maximum de {\sin^2(x)\sin(2x)} sur {[0,\pi]}.
En déduire {\Bigl|\displaystyle\prod_{k=0}^{k=n}\sin2^kx\Bigr|\le\Bigl(\dfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^n}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Exercice 3.
Trouver le minimum de {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_k} si on suppose {\displaystyle\prod_{k=1}^{n}x_k=\alpha>0\;(\text{et les }x_k>0)\;}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Exercice 4.
Soit {f :x\mapsto x+[\sqrt{x}]}.
On pose {u_0=m\in\mathbb{N}} et : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=f(u_n)}.
Montrer que l’un au moins des {u_n} est le carré d’un entier.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Exercice 5.
Montrer que {x=\dfrac1\pi\arccos\dfrac13} est irrationnel.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :