| Exercice 1. Soient {a,b,c} dans {\mathbb{Z}} (non tous nuls). On suppose {\left|a\right|,\left|b\right|,\left|c\right|\lt 10^6}. Prouver {\left|a+b\sqrt2+c\sqrt3\right|>10^{-20}}. Montrer qu’il existe de tels entiers tels que :{\left|a+b\sqrt2+c\sqrt3\right|\lt 10^{-11}} |
| Exercice 2. Trouver le maximum de {\sin^2(x)\sin(2x)} sur {[0,\pi]}. En déduire {\Bigl|\displaystyle\prod_{k=0}^{k=n}\sin2^kx\Bigr|\le\Bigl(\dfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^n}. |
| Exercice 3. Trouver le minimum de {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_k} si on suppose {\displaystyle\prod_{k=1}^{n}x_k=\alpha>0\;(\text{et les }x_k>0)\;} |
| Exercice 4. Soit {f :x\mapsto x+[\sqrt{x}]}. On pose {u_0=m\in\mathbb{N}} et : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=f(u_n)}. Montrer que l’un au moins des {u_n} est le carré d’un entier. |
| Exercice 5. Montrer que {x=\dfrac1\pi\arccos\dfrac13} est irrationnel. |