Exercices relevés sur les réels (1)

Exercice 1.
Montrer que tout {n} de {\mathbb{N}}, on a :{\begin{cases}\left[\sqrt{4n + 2}\right]=\left[\sqrt{4n + 1}\right]\\[6pt]\left[\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right]=\left[\sqrt{4n + 1}\right]\end{cases}}
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Exercice 2.
Montrer que {\forall\, a,b\in\mathbb{N}^*,\;\left|\dfrac{a}{b}-\dfrac{1}{\sqrt2}\right|>\dfrac{1}{4b^2}}.
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Exercice 3.
Soient {a,b,c} des nombres réels. Pour tout {x} de {\mathbb{R}}, on pose {x\mapsto P(x)=ax^2+bx+c}.
On suppose {\left|P(x)\right|\le1} pour tout {x\in[-1,1]}.
Montrer que : {\forall\, x\in[-1,1],\;\left|P'(x)\right|\le4}.
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Exercice 4.
Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, calculer le minimum de {x\mapsto S_n(x)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\left|x-k\right|}et préciser pour quel(s) {x} ce minimum est atteint.
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Exercice 5.
Soit {a,b,c} les trois cotés d’un triangle. Montrer que :
{2(a\!+\!b\!+\!c)(a^2\!+\!b^2\!+\!c^2)\ge 3(a^3\!+\!b^3\!+\!c^3)\!+\!4abc}
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Exercice 6.
Soit {\mathcal S} une famille finie de segments de {\mathbb{R}} telle que : {\forall\, (I,J)\in{\mathcal S}^2,\;I\cap J\ne\emptyset}Montrer que l’intersection de tous les segments {I} de {{\mathcal S}} est non vide.
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