Une structure algébrique

Soit {E} un ensemble non vide.

On munit {E} d’une loi {\,\text{T}\,} vérifiant :
{\forall\;a,b,c\in E,\begin{cases}(1)\, :\,a\,\text{T}\,a=b\,\text{T}\,b\\(2)\, : (a\,\text{T}\,c)\,\text{T}\,(b\,\text{T}\,c)=a\,\text{T}\,b\\(3)\, :\,a\,\text{T}\,(a\,\text{T}\,b)=b\end{cases}}Pour simplifier l’écriture, on notera : {\forall\,a\in E,\;a^2=a\,\text{T}\,a=e}On définit ensuite une loi {\star} en posant : {\forall \;a,b\in E,\;a\star b=a\,\text{T}\,(e\,\text{T}\,b)}

Question 1.
Montrer que {e} est neutre pour la loi {\star}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 2.
Montrer que pour tout {a} de {E}, {a'=e\,\text{T}\,a} est symétrique de {a} pour la loi {\star}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Dans les questions 3.(a) à 3.(e), suivantes, {a,b,c} sont des éléments quelconques de {E}.

Question 3.(a)
Montrer que : {(a\,\text{T}\,b)'=b\,\text{T}\,a}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 3.(b)
Montrer que : {a\,\text{T}\,(b\,\text{T}\,c)=(a\,\text{T}\,b)\,\text{T}\,c'}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 3.(c)
Montrer que : {(a\,\text{T}\,b)\,\text{T}\,c=a\,\text{T}\,(b\,\text{T}\,c')}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 3.(d)
Montrer que : {(a\,\text{T}\,b)'=a'\,\text{T}\,b'}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 3.(e)
Montrer que : {a\star b=a\,\text{T}\,b'}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 4.
En déduire que la loi {\star} est associative et commutative. Conclusion?
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 5.
Montrer que dans {\mathbb{R}} on définit ainsi l’addition à partir de la soustraction!
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
On remplace la condition {(3)} par :{(3') :(a\,\text{T}\,(e\,\text{T}\,b))\,\text{T}\,b=a} (où {e} est la valeur commune de tous les {x\,\text{T}\,x})

Question 6.(a)
Montrer que {(E,\star)} est un groupe.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 6.(b)
En choisissant pour {E} l’ensemble des permutations d’un ensemble {X} et en définissant la loi {\,\text{T}\,} par {f\,\text{T}\,g=f\circ g^{-1}}, montrer que {(E,\star)} peut ne pas être abélien.

On remplace la condition {(3) } par {a\,\text{T}\,b^2=a}.

Question 7.(a)
Montrer que {(E,\star)} est un groupe, non nécessairement abélien (exemple?).

Question 7.(b)
Si on remplace de plus {(2)} par :{(a\,\text{T}\,b)\,\text{T}\,(a\,\text{T}\,c)=c\,\text{T}\,b}montrer que {(E,\star)} est abélien.