Groupes ordonnés

Soit {G} un groupe multiplicatif.

Le neutre de {G} est noté {e}.

Le symétrique d’un élément {x} de {G} est noté {x^{-1}}.

Pour {P\subset G}, et pour {a\in G}, on note : {\begin{cases}PP=\{hk,\;h\in P,\;k\in P\}\\[3pt]P^{-1}=\{h^{-1},\;h\in P\}\\[3pt]a^{-1}Pa=\{a^{-1}ha,\;h\in P\}\end{cases}}Le groupe {G} est dit ordonné s’il est muni d’une relation d’ordre {\leq} qui vérifie : {\forall\,a,b,c\in G,\quad a\leq b\Rightarrow (ac\leq bc\;\text{et}\;ca\leq cb)}On notera bien qu’a priori, la relation {\leq} est une relation d’ordre partielle.

L’hypothèse précédente peut donc se lire : « si {a} et {b} sont comparables, alors {ac} et {bc} sont comparables et dans le même ordre que {a} et {b} (idem avec {ca} et {cb}) ».

On suppose que le groupe {G} est ordonné.

On pose : {P=\{h\in G,\;e\leq h\}}.

Question 1.(a)
Montrer que : {P\cap P^{-1}=\{e\}}.
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Question 1.(b)
Montrer que : {PP\subset P}.
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Question 1.(c)
Montrer que : {\forall\,a\in G}, {a^{-1}Pa\subset P}.
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Question 1.(d)
Montrer que si l’ordre défini par {\leq} est total, {P\cup P^{-1}=G}.
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Réciproquement, soit {G} un groupe contenant une partie {P} vérifiant {(a)}, {(b)} et {(c)}.

On définit une relation {\mathcal{R}} sur {G} par :
{\forall\,a,b\in G,\;a\,\,\mathcal{R}\,\,b\Leftrightarrow ba^{-1}\in P}

Question 2.(a)
Montrer que muni de cette relation, {G} est un groupe ordonné.
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Question 2.(b)
Montrer que si {P\cup P^{-1}=G}, alors l’ordre ainsi défini est total.
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Soit {G} un groupe ordonné commutatif.

On suppose que, pour tout {(a,b) } de {G^2}, {\sup\{a,b\}} existe dans {G}.

Attention : {\sup\{a,b\}} désigne « l’élément minimum de l’ensemble des majorants de {a} et {b} ».

Cela signifie donc qu’étant donnés deux éléments {a} et {b} de {G}, il existe des éléments {h} de {G} tels que {a\le h} et {b\le h}, et que parmi ceux-là, il en existe un qui soit plus petit (au sens de la relation {\le}) que tous les autres.

Question 3.(a)
Montrer que : {\forall\,a,b,c\in G,\;c\cdot\sup\{a,b\}=\sup\{ac,bc\}}
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Question 3.(b)
Montrer que : {\forall\,a,b\in G,\;\inf\{a,b\}} existe.
On prouvera que {\inf\{a,b\}=(\sup\{a^{-1},b^{-1}\})^{-1}}.
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Question 3.(c)
Montrer que : {\forall\,a,b,c\in G,\;c\cdot\inf\{a,b\}=\inf\{ac,bc\}}
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Question 3.(d)
Montrer que : {\forall\,a,b\in G,\;\inf\{a,b\}\cdot\sup\{a,b\}=ab}
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