Morphismes de sous-groupes de (ℝ,+)

Partie 1 : sous-groupes de {(\mathbb{R},+)}

Pour tout {a} de {\mathbb{R}}, on note {a\mathbb{Z}=\{ka,\; k\in\mathbb{Z}\}}.

Les ensembles {a\mathbb{Z}} sont de manière évidente des sous-groupes de {(\mathbb{R},+)}.

Dans cette partie, on désigne par {G} un sous-groupe de {(\mathbb{R},+)}, non réduit à {\{0\}}.

On va montrer que {G} soit est de la forme {a\mathbb{Z}} (avec {a>0}), soit est une partie dense de {\mathbb{R}}.

Question 1. Montrer que {G\cap\mathbb{R}^{+*}} est non vide. Justifier l’existence de {a=\inf G\cap\mathbb{R}^{+*}} dans {\mathbb{R}^+}.

Dans les deux questions suivantes, on suppose {a\gt 0}.

Question 2.(a) Montrer que {a} est élément de {G} (indication : par l’absurde, considérer l’intervalle {]a,2a[} et utiliser deux fois la caractérisation de la borne inférieure).

Question 2.(b) Montrer que {G} est inclus dans {a\mathbb{Z}} (indication : pour tout {x} de {G}, justifier l’existence d’un {k} de {\mathbb{Z}} tel que {0\le x-ka\lt a}). En déduire que {G=a\mathbb{Z}} ({G} est dit discret).

Question 3. Dans cette question, on suppose {a=0}. Montrer que pour tous réels {x,y} avec {x\lt y}, il existe {z} dans {G} tel que {x\lt z\lt y}. (Indication : utiliser, après avoir justifié son existence, un élément {t} de {G\,\cap\,]0,y-x[}). Une récurrence immédiate montre que {]x,y[} contient une infinité d’éléments de {G}. On exprime cette situation en disant que {G} est dense} dans {\mathbb{R}}. Ce n’est pas le cas bien sûr des ensembles {a\mathbb{Z}}. On a donc prouvé que les sous-groupes additifs de {\mathbb{R}} sont soit discrets (dont le groupe trivial {\{0\}=0\mathbb{Z}}, le seul qui soit fini), soit denses dans {\mathbb{R}}.

Partie 2 : morphismes croissants d’un sous-groupe de {(\mathbb{R},+)} dans {(\mathbb{R},+)}

Dans cette partie, {G} est un sous-groupe de {(\mathbb{R},+)}.

On se propose de caractériser les morphismes croissants de {(G,+)} dans {(\mathbb{R},+)}, c’est-à-dire les applications {f :G\to\mathbb{R}} telle que : {\begin{array}{rl}\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^{2},\;\begin{cases}f(x+y)=f(x)+f(y)\\[3pt]x\le y\Rightarrow f(x)\le f(y)\end{cases}\end{array}}Il est clair que pour tout réel {\lambda}, l’application {t\mapsto \lambda t} est un morphisme de {(G,+)} dans {(\mathbb{R},+)}, croissant si {\lambda\ge0} et décroissant si {\lambda\le0}.

Question 4. On suppose dans cette question que {G} est un sous-groupe discret} de {(\mathbb{R},+)}. Soit {g} un morphisme de {(G,+)} dans {(\mathbb{R},+)}. Montrer que : {\exists\,\lambda\in\mathbb{R},\;\forall\,t\in G,\;g(t)=\lambda t}. Les morphismes croissants de {G} dans {\mathbb{R}} sont donc les applications {t\mapsto\lambda t}, où {\lambda\ge0}.

Dans la suite de cette partie, {G} est un sous-groupe dense} de {(\mathbb{R},+)}.

Soit {g} un morphisme croissant de {(G,+)} dans {(\mathbb{R},+)}.

Pour tout réel {x}, on pose :{f(x)=\sup\{g(t),\;t\in G\,\cap\,]-\infty,x\,]\}}

Question 5. Justifier l’existence de l’application {f :\mathbb{R}\to\mathbb{R}}. Montrer que {f} est croissante, et qu’elle est un prolongement de l’application {g}.

Dans cette question, on se donne un {\varepsilon\in\mathbb{R}{+*}}.

Question 6.(a) Montrer qu’il existe {x,y} dans {G} tels que {x\lt y} et {0\le g(y)-g(x)\le\varepsilon}. Indication : utiliser la densité de {G} dans {[0,a]}, avec {a} donné dans {G\cap\mathbb{R}^{+*}}.

Question 6.(b) En déduire qu’il existe {\alpha>0} tel que : {t\in G\cap[-\alpha,\alpha]\Rightarrow\left|g(t)\right|\le\varepsilon}.

Question 6.(c) Prouver alors que : {\forall\, (x,y)\in\mathbb{R},\left|y-x\right|\le\dfrac{\alpha}{2}\Rightarrow\left|f(y)-f(x)\right|\le\varepsilon}Indication : si {x\le y} encadrer judicieusement {[x,y]} par deux éléments de {G}.

Question 7.(a) Montrer que {f} est un endomorphisme continu du groupe {(\mathbb{R},+)}.

Question 7.(b) En déduire {f(x)=xf(1)} pour tout réel {x} (supposer {x\in\mathbb{Z}}, puis {x\in\mathbb{Q}}).

Question 8. Déduire de ce qui précède les morphismes croissants de {(G,+)} dans {(\mathbb{R},+)}.