Une base de polynômes

(Oral Ccp 2011)
Soient {n\geq 2} et, pour {k\in\{0,\cdots ,n\}}, {P_k=X^k(1-X)^{n-k}}.
Montrer que {(P_0,\cdots\!,P_n)} est une base de {\mathbb{R}_n[X]}.
Exprimer {1,X,\cdots ,X^n} dans cette base.

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  • Par l’absurde, on suppose que les P_k sont liés.

    Il existe donc {\lambda_0,\lambda_1,\ldots,\lambda_n} non tous nuls) tels que {\displaystyle\sum_{k=0}^n\lambda_kP_k=0\ (\star)}.

    Soit {k_0} minimum tel que {\lambda_{k_0}\ne0}.

    Alors l’égalité {(\star)} devient {\lambda_{k_0}P_{k_0}=-\displaystyle\sum_{k=k_0+1}^n\lambda_k P_k}.

    On divise par {X^{k_0}} et on trouve :
    {\lambda_{k_0}(1-X)^{n-k_0}=-\displaystyle\sum_{k=k_0+1}^n\lambda_k X^{k-k_0}(1-X)^{n-k}}Si on substitue {0} à {X}, on obtient {\lambda_{k_0}=0} : absurde!

    Ainsi les {n+1} polynômes {P_0,P_1,\ldots,P_n} sont libres dans {\mathbb{R}_n[X]}.

    Puisque {\dim(\mathbb{R}_n[X])=n+1}, ils en forment une base.

  • Pour tout {m} dans {[[ 0,n]]}, on écrit :
    {\begin{array}{rl}X^m&=X^m(X+1-X)^{n-m}\\\\&=X^m\displaystyle\sum_{k=0}^{n-m}\dbinom{n-m}{k}X^k(1-X)^{n-m-k}\\\\&=\displaystyle\sum_{k=m}^{n}\dbinom{n-m}{k-m}X^{k}(1-X)^{n-k}\\\\&=\displaystyle\sum_{k=m}^{n}\dbinom{n-m}{k-m}P_k\end{array}}