Une suite définie par récurrence

Étudier {(u_n)} définie par : {\forall n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\dfrac1{14}(3u_n^3-3u_n^2-4u_n)}.

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Posons f(x)=\dfrac1{14}(3x^3-3x^2-4x).

On a alors : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=f(u_n)}.

Pour tout réel {x}, on a : {\begin{array}{rl}f(x)-x&=\dfrac1{14}(3x^3-3x^2-18x)\\\\&=\dfrac3{14}x(x-3)(x+2)\end{array}}Les seules limites finies possibles de la suite {(u_n)} (les points fixes de {f}) sont donc {-2,0,3}.

Pour tout réel {x}, on a : {\begin{array}{rl}f'(x)&=\dfrac1{14}(9x^2-6x-4)\\\\&=\dfrac1{14}(3x-1-\sqrt5)(3x-1+\sqrt5)\end{array}}Donc {f'(0)=-\dfrac27}, {f'(-2)=\dfrac{22}7} et {f'(3)=\dfrac{59}{14}}.

Ainsi {\left|{f'(0)}\right|\lt 1}, {\left|{f'(-2)}\right|>1} et {\left|{f'(3)}\right|>1}.

Des trois points fixes, seul {0} est donc attractif.

Les deux autres sont de type répulsifs.

On note {\alpha,\beta} les deux racines de {f'} : {\begin{cases}\alpha=\dfrac{1-\sqrt5}3\approx-0.412\\\\\beta=\dfrac{1+\sqrt5}3\approx1.079\end{cases}}On trouve : {\begin{cases}f(\alpha)=\dfrac{5\sqrt5-7}{63}\approx0.066\\\\f(\beta)=\dfrac{-5\sqrt5-7}{63}\approx-0.289\end{cases}}

Voici les variations de {f}, avec le signe de {f(x)-x} :

Voici la courbe {y=f(x)}, avec la bissectrice {y=x} :

Nous pouvons étudier la suite {u}, en fonction des valeurs de {u_0}.

On va commencer par les cas les plus simples.

  • Supposons {u_0\in\{-2,0,3\}}.
    Alors : {\forall n\in\mathbb{N}, u_n=u_0}.
  • Supposons {u_0\lt -2}.
    Pour {x\lt -2}, on a : {f(x)\lt x\lt -2}.
    En particulier {u_1\lt u_0\lt -2}.
    Par récurrence évidente, on trouve : {\forall n\ge0, u_{n+1}\lt u_n\lt -2}La suite {u} est donc décroissante, et elle ne peut visiblement pas converger vers une des trois seules limites possibles {-2,0,3}.

    On en déduit {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=-\infty}.

  • Supposons {u_0>3}.
    Pour {3\lt x}, on a : {3\lt x\lt f(x)}.
    En particulier {3\lt u_0\lt u_1}.
    Par récurrence évidente, on trouve : {\forall n\ge0, 3\lt u_{n}\lt u_{n+1}}La suite {u} est donc croissante, et elle ne peut visiblement pas converger vers une des trois seules limites possibles {-2,0,3}.

    On a donc {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty}.

  • Supposons {\alpha\le u_0\le\beta}.
    Alors {f(\alpha)\ge u_1\ge f(\beta)}.
    Or on a : {\alpha\le f(\beta)\le f(\alpha)\le \beta}.
    On en déduit {\alpha\le u_1\le\beta}.

    Par récurrence évidente : {\forall n\in\mathbb{N},\alpha\le u_n\le\beta}.

    Sur {[\alpha,\beta]}, {f''(x)=\dfrac{3}{7}(3x-1)} s’annule en {\dfrac13}.

    Le maximum de {\left|{f'(x)}\right|} est {\left|{f'\Big(\dfrac13\Big)}\right|\!=\!\dfrac5{14}\!\lt\! 1}

    Ainsi {f} est contractante sur le segment {[\alpha,\beta]}.

    On en déduit (théorème classique) que la suite {u} est convergente. Or la seule limite possible sur cet intervalle est {0}. Donc {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=0}.

  • Supposons {-2\lt u_0\le\alpha}.
    Alors on a : {-2\lt u_0\lt u_1\le f(\alpha)\le\beta}.

    Supposons que {u_1} vérifie encore {u_1\le\alpha}.
    Alors : {-2\lt u_1\lt u_2\le f(\alpha)\le\beta}.

    Supposons par l’absurde {u_n\le\alpha} pour tout {n}.

    Alors {-2\lt u_0\le u_n\lt u_{n+1}\le\alpha} pour tout {n}.

    Il en découle que la suite {u}, croissante majorée, converge vers une limite {\ell} comprise entre {u_0} et {\alpha} (absurde).

    Autrement dit, il existe un {m} tel que {\alpha\le u_m\le\beta}: à partir de cet entier, on est ramené au cas précédent, et {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=0}.

  • Supposons {\beta\le u_0\lt 3}.
    Alors : {\alpha\lt f(\beta)\le u_1\lt u_0\lt 3}.

    Supposons {\beta\le u_1}.
    Alors {\alpha\lt f(\beta)\le u_2\lt u_1\lt 3}.

    Supposons par l’absurde {\beta\le u_n} pour tout {n}.

    Alors on en déduit {\beta\le u_{n+1}\lt u_n\le u_0\lt 3} pour tout {n}.

    Il en découle que la suite {u}, décroissante minorée, converge vers une limite {\ell} comprise entre {\beta} et {u_0}, ce qui est absurde.

    Il existe donc {m} tel que {\alpha\le u_m\le \beta}.

    A partir de cet entier, on est ramené à un cas déjà étudié, et {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=0}.

Conclusion :

  • Si {-2\lt u_0\lt 3}, {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=0}.
  • Si {u_0\in\{-2,3\}}, la suite est constante.
  • Si {u_0\lt -2} alors {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=-\infty}.
  • Si {u_0>3} alors {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty}.