Tout d’abord, on vérifie que {\varphi} est bien un endomorphisme de {\mathbb{C}_{n}[X]}.
Puisque {\deg(B)=n+1}, il est clair que {\varphi(\mathbb{C}_{n}[X])\subset\mathbb{C}_{n}[X]}.
Ensuite, soit {P_{1},P_{2}} dans {\mathbb{C}_{n}[X]}. Posons : {\begin{cases}AP_{1}=Q_{1}B+R_{1}\\AP_{2}=Q_{2}B+R_{2}\end{cases}\;\text{où}\;\begin{cases}\deg(R_{1})\le n\\\deg(R_{2})\le n\end{cases}}
Avec ces notations : {\begin{cases}R_{1}=\varphi(P_{1})\\R_{2}=\varphi(P_{2})\end{cases}}
Pour tous {\alpha,\beta} dans {\mathbb{C}}, on a :{\begin{cases}A(\alpha P_{1}\!+\!\beta P_{2})\!=\!(\alpha Q_{1}\!+\!\beta Q_{2})B\!+\!\alpha R_{1}\!+\!\beta R_{2}\\\deg(\alpha R_{1}\!+\!\beta R_{2})\!\le\! n\end{cases}}En d’autres termes : {\begin{array}{rl}\varphi(\alpha P_{1}+\beta P_{2})&=\alpha R_{1}+\beta R_{2}\\\\&=\alpha\varphi(P_{1})+\beta\varphi(P_{2})\end{array}}Ainsi {\varphi} est un endomorphisme de \mathbb{C}_n[X].
On suppose que A et {B} n’ont pas de racine commune.
Soit {P} dans {\text{Ker}(\varphi)} (donc tel que {B} divise {AP}).
Tout racine de {B} dans {\mathbb{C}} est ainsi racine de {AP}, donc de {P}, avec une multiplicité au moins égale.
Le polynôme {P} admet alors au moins {n+1} racines (chacune comptée autant de fois que sa multiplicité) alors que {\deg(P)\le n}.
La seule possibilité est {P=0}.
Ainsi {\varphi} est un isomorphisme de {\mathbb{C}_{n}[X]}.
On suppose que les racines de {B} sont {\alpha_{0},\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}}, distinctes deux à deux.
Soit {P\in\mathbb{C}_{n}[X]} un vecteur propre de {\varphi}, pour une valeur propre {\lambda}.
Il existe {Q\in\mathbb{C}[X]} tel que {AP\!=\!QB\!+\!\lambda P} donc tel que {(A\!-\!\lambda)P\!=\!QB}.
On en tire : {\forall\, k\in[\![ 0,n]\!],\;(A(\alpha_{k})-\lambda)P(\alpha_{k})=0}.
Nécessairement, il existe {j\in[[ 0,n]]} tel que {\lambda=A(\alpha_{j})}, sans quoi {P} (qui est non nul de degré {n}) possèderait les {n+1} racines distinctes {\alpha_{k}}, ce qui est exclu.
Dans ces conditions, et pour {k\in[[ 0,n]]\setminus\{j\}}, on a {P(\alpha_{k})=0}.
Ainsi: {\exists\, \mu\in\mathbb{C},\;P=\mu\displaystyle\prod_{k\ne j}(X-\alpha_{k})}.
Réciproquement, pour tout {j\in[[ 0,n]]}, posons {P_{j}=\displaystyle\prod_{k\ne j}(X-\alpha_{k})}.
Par construction, le polynôme {(A-A(\alpha_{j})P_{j}} s’annule tous les {\alpha_{k}}, avec {k\in[[ 0,n]]}.
Il existe donc {Q} dans {\mathbb{C}[X]} tel que {(A-A(\alpha_{j}))P_{j}=QB}.
Autrement dit : {AP_{j}=QB+A(\alpha_{j})P_{j}}.
Puisque {\deg(A(\alpha_{j})P_{j})\lt \deg(B)}, il en résulte {\varphi(P_{j})=A(\alpha_{j})P_{j}}.
En résumé, les valeurs propres de {\varphi} sont les {\lambda_{j}=A(\alpha_{j})} pour {j\in[[ 0,n]]}
(NB: rien n’indique que ces valeurs propres soient distinctes).
Remarquons que la famille {(P_{j})_{0\le j\le n}} est libre (donc constitue une base de {\mathbb{C}_{n}[X]}).
En effet si {\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\delta_{j}P_{j}(X)=0}, remplacer {X} par {\alpha_{k}} donne {\delta_{k}=0}.
L’application {\varphi}, qui possède une base de vecteurs propres, est diagonalisable.