Une somme binomiale

Pour k\ge1, on a : {k\dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{(k-1)!(n-k)!}=n\dbinom{n-1}{k-1}}On en déduit : {\begin{array}{rl}A&=n \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n-1}{k-1}=n \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dbinom{n-1}k\\\\&=n2^{n-1}\end{array}}

Pour tout réel {x}, {(1+x)^n= \displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}x^k}.

Si on dérive par rapport à {x}, on trouve : {\forall x\in\mathbb{R},n(1+x)^{n-1}= \displaystyle\sum_{k=1}^nk\dbinom{n}{k}x^{k-1}}Donc avec {x=1} : { \displaystyle\sum_{k=1}^nk\dbinom{n}{k}=n2^{n-1}}.

On sait que {\dbinom{n}{k}} est le nombre de parties à {k} éléments de l’ensemble {E=\{1,\ldots,n\}}.

Donc {A= \displaystyle\sum_{k=0}^n k\dbinom{n}{k}= \displaystyle\sum_{X\subset E}\text{card} X}

(somme étendue à toutes les parties {X} de {E}).

Or quand {X} décrit {\mathcal{P}(E)}, {\overline{X}} décrit {{\mathcal P}(E)}.

On peut donc également écrire : {\begin{array}{rl}A&= \displaystyle\sum_{X\subset E}\text{card}\,\overline{X}=\displaystyle\sum_{X\subset E}(n-\text{card}\, X)\\\\&=n\displaystyle\sum_{X\subset E}1- \displaystyle\sum_{X\subset E}\text{card}\, X= n2^n-A\end{array}}On retrouve donc bien {A=n2^{n-1}}.

Par un changement d’indice : {A=\displaystyle\sum_{k=0}^nk\dbinom{n}{k}=\displaystyle\sum_{k=0}^n(n-k)\dbinom n{n-k}}Mais on sait bien que {\dbinom{n}{n-k}=\dbinom{n}{k}}.

On en déduit : {\begin{array}{rl}A&=\displaystyle\sum_{k=0}^n(n-k)\dbinom n{k}\\\\&=n\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom n{k}-A=n\,2^n-A\end{array}}On retrouve bien l’égalité : {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\dbinom{n}{k}=n\,2^{n-1}}.

On se donne un groupe de {n} personnes. On se propose de calculer le nombre de façons de créer une équipe quelconque avec à sa tête un délégué.

• La première idée consiste à choisir le délégué d’abord (il y a {n} possibilités).
  On complète ensuite l’équipe parmi les {n-1} autres personnes) : il y a {2^{n-1}} possibilités.
  Finalement, il y a {n\,2^{n-1}} façons de former une équipe avec un délégué.
• La seconde idée est de décider d’abord de l’effectif {k} de l’équipe, avec {1\le k\le n}.
  Il y a {\dbinom{n}{k}} façons de former cette équipe.
  On choisit ensuite celui des équipiers qui sera le délégué ({k} possibilités).
  Il y a donc {k\dbinom{n}{k}} « équipes avec délégué » de {k} personnes, et il ne reste plus qu’à sommer ces résultats de {k=1} à {k=n}.
• Finalement : {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\dbinom{n}{k}=n\,2^{n-1}}.