Vrai/Faux sur implications/équivalences

Dans chacune des 10 questions suivantes, {A} et {B} désignent des propositions portant sur une suite {(u_n)} de nombres réels.
À chaque fois, on doit dire si {A\Rightarrow B}, ou {B\Rightarrow A}, ou {A\Leftrightarrow B} ou s’il n’y a aucun lien logique.


{A} : {(u_n)} est monotone (à partir d’un certain temps)
{B} : la suite {(u_n)} est convergente
Réponse
Il n’y a pas de rapport logique. Par exemple la suite {n\mapsto n} est monotone mais divergente.

Inversement, la suite {n\mapsto (-1)^n/n} converge (vers {0}), mais ne devient jamais monotone.


Soit {(u_n)} une suite positive.
{A} : {(u_n)} décroît (à partir d’un certain temps)
{B} : {(u_n)} est convergente
Réponse
On a {A\Rightarrow B} (si une suite est décroissante et minorée, alors elle est convergente).

On n’a pas {B\Rightarrow A}. Considérons par exemple {u_n=1/n} si {n} est pair et {u_n=0} si {n} est impair.
Cette suite est positive, convergente (vers {0}), mais elle ne devient jamais décroissante.


{A} : {\forall\, n\in\mathbb{R},\;u_n\le u_{n+1}}
{B} : {\forall\, (n,m)\in\mathbb{N}^2,\;n\le m\Rightarrow u_n\le u_m}
Réponse
On a {A\Leftrightarrow B}. L’implication {B\Rightarrow A} est vraie (prendre le cas particulier {m=n+1}).

Ensuite, si {A} est vraie, {B} est vraie par une récurrence évidente sur l’entier {m} (avec {m\ge n+1}).


{A} : {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty}
{B} : {(u_n)} est croissante (au bout d’un certain temps)
Réponse
Il n’y a pas de rapport logique. Par exemple {n\!\mapsto\!-1/n} est croissante et ne tend pas vers {+\infty}.

La suite définie par {u_n=n} si {n} est pair et {u_n=2n+1} si {n} est impair tend vers {+\infty} quand {n\to+\infty} mais pour autant elle ne devient jamais croissante.


{A} : {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(u_{n+1}-u_n)=0}
{B} : {(u_n)} est convergente
Réponse
On a {B\Rightarrow A}: si {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\in\mathbb{R}}, alors {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(u_{n+1}-u_{n})=\ell-\ell=0}.

Réciproque fausse : exemple, si {u_n=\ln{n}}, on a {u_{n+1}-u_{n}=\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)\to0} , mais {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty}.


{A} : {n\mapsto \exp(u_n)} est convergente
{B} : {n\mapsto u_n} est convergente
Réponse
On a {B\Rightarrow A}. Si {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell} alors {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\exp(u_n)=\exp(\ell)}.

Mais si {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\exp(u_n)=\ell} alors {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ln(\ell)} seulement si {\ell>0}.

Par exemple si {u_n=-\ln(n)}, alors {n\mapsto\exp(u_n)=\dfrac{1}{n}} converge vers {0} mais {(u_n)_{n\ge1}} diverge vers {-\infty}.


{A} : {n\mapsto |u_n|} est convergente
{B} : {n\mapsto u_n} est convergente
Réponse
On a {B\Rightarrow A}. Si {\displaystyle\lim_{+\infty}u_n=\ell} alors {\displaystyle\lim_{+\infty}|u_n|=|\ell|}.
La réciproque est fausse, comme le montre l’exemple de la suite {n\mapsto (-1)^n}.

{A} : {n\mapsto u_n} est convergente
{B} : {n\mapsto \lfloor u_n\rfloor} (partie entière de {u_n}) converge
Réponse
Il n’y a pas de lien logique.
Par exemple avec {u_n=\dfrac{(-1)^n}{n}} on a {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0}, mais {\lfloor u_n\rfloor} vaut alternativement {-1} et {0}.

De même, si {u_n=\dfrac{1}{3}} pour {n} pair et {u_n=\dfrac{2}{3}} pour {n} impair. Tous les {\lfloor u_n\rfloor} sont nuls mais la suite {n\mapsto u_n} diverge.


Soit {(u_n)} une suite d’entiers relatifs.
{A} : {(u_n)} est convergente
{B} : {(u_n)} est stationnaire
Réponse
On a {A\Leftrightarrow B}. Une suite stationnaire est bien sûr toujours convergente.

Mais réciproquement, si {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\in\mathbb{R}} (les {u_n} étant des entiers), il existe un rang à partir duquel {\left|{u_n-\ell}\right|\lt \dfrac{1}{2}} donc {\left|{u_{n+1}-u_{n}}\right|\lt 1} donc {u_{n+1}=u_{n}}.


{A} : {(u_n)} est périodique
{B} : {(u_n)} ne prend qu’un nombre fini de valeurs
Réponse
On a {A\Rightarrow B}: si {(u_n)} est {T}-périodique, elle ne prend que les valeurs {\{u_0,u_1,\ldots,u_{T-1}\}}.

Mais on n’a pas {B\Rightarrow A} : la suite définie par {u_0=1} si {n} est le carré d’un entier et {u_n=0} sinon ne prend que deux valeurs, mais elle n’est pas périodique.