Dans une quartique, le nombre d’or

(Oral Centrale Mp)
Soit P un polynôme de degré {4}, à coefficients réels.
Soit {(\Gamma)} la courbe de {y=P(x)} dans un repère orthonormé.
On suppose que {(\Gamma)} possède deux points d’inflexion distincts {U} et {V}.
On note {u} et {v} leurs abscisses respectives avec {u\lt v}.
Soit {\Delta}, d’équation {y=\delta(x)}, la droite passant par {U} et {V}.
La droite {\Delta} recoupe {(\Gamma)} en deux points {A} et {B}, d’abscisses {a\lt b}.

  1. Montrer que les segments {[A;B]} et {[U;V]} ont même milieu.
  2. Montrer que {b-a=\sqrt5(v-u)}.
  3. En déduire {\dfrac{UV}{AU}=\dfrac{1+\sqrt5}{2}} (le nombre d’or).

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  1. On note {y=\delta(x)} l’équation de la droite {\Delta}

    Par hypothèse, il existe {\lambda} dans {\mathbb{R}^*} tel que : {P(X)\!-\!\delta(X)\!=\!\lambda(X\!-\!a)(X\!-\!u)(X\!-\!v)(X\!-\!b)}Par ailleurs les racines de {(P-\delta)''(X)=P''(X)} sont {u} et {v}.

    On note {\begin{cases}\sigma_{1}=a+u+v+b\\\sigma_{2}=au+av+ab+uv+ub+vb\end{cases}}

    On a : {P(X)=\lambda(X^4-\sigma_{1}X^3+\sigma_{2}X^2+\cdots)}.

    Par conséquent : {(P-\delta)''(X)=2\lambda(6X^2-3\sigma_{1}X+\sigma_{2})}.

    On en déduit les relations {u+v=\dfrac{\sigma_{1}}{2}} et {uv=\dfrac{\sigma_{2}}{6}}.

    La relation {u+v=\dfrac{\sigma_{1}}{2}} s’écrit encore {a+b=u+v}.

    Ainsi les segments {[A;B]} et {[U;V]} ont même milieu.

  2. La relation {uv=\dfrac{\sigma_{2}}{6}} s’écrit {(a+b)(u+v)+ab=5uv}.

    Ainsi : {(a+b)^2=(u+v)^2=5uv-ab}.

    On en déduit : {\begin{cases}(b-a)^2=(b+a)^2-4ab=5(uv-ab)\cr(v-u)^2=(v+u)^2-4uv=uv-ab\end{cases}}

    Il en résulte {b-a=\sqrt{5}(v-u)}.

  3. D’après le théorème de Thalès, on a : {\dfrac{UV}{AU}=\dfrac{v-u}{u-a}}.

    Or {\sqrt{5}(v\!-\!u)=(b\!-\!a)=2(u\!-\!a)\!+\!(v\!-\!u)}

    Il en résulte : {v-u=\dfrac{2(u-a)}{\sqrt5-1}=\dfrac{1+\sqrt5}{2}(u-a)}.

    Conclusion: {\dfrac{UV}{AU}=\dfrac{1+\sqrt5}{2}=\Phi} (le nombre d’or).

    Voici une illustration du résultat :