Une série de fonctions

  1. On définit la fonction {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}}.
    Montrer que {f} est définie sur {]-1,1[}.
    Montrer qu’elle y est de classe {\mathcal{C}^{\infty}}.
  2. {f} est-elle intégrable sur {]-1,0[} ?
  3. Montrer qu’elle est {f} est développable en série entière sur {]-1,1[}.

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  1. Pour {n\ge1}, on pose {f_n(x)=\dfrac{(-1)^n}{n+x}}.

    Pour {x\ge-1}, la série {\displaystyle\sum f_{n}(x)} est alternée.

    D’autre part, {\left|f_{n}(x)\right|=\dfrac{1}{n+x}\to0} en décroissant quand {n\to+\infty}.

    D’après le TSSA, la série de fonctions {\displaystyle\sum f_n} est simplement convergente sur {\mathbb{R}^{+}}.

    On isole le terme d’indice {n=1} (ce sera utile pour la suite) : {\forall\,x\in\,]\!-\!1,1[,\;f(x)=-\dfrac{1}{x+1}+\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}f_n(x)}Pour {n\ge2}, les {f_n} sont {\mathcal{C}^{\infty}} sur {[-1,1]} et : {\begin{array}{rl}\big|f_n^{(k)}(x)\big|&=\dfrac{k!}{(x+n)^{k+1}}\\\\&\leq \dfrac{k!}{(n-1)^{k+1}}\leq \dfrac{k!}{(n-1)^2}\end{array}}Ainsi la série {\displaystyle\sum_{n\geq 2} f_n^{(k)}} est normalement convergente, donc uniformément convergente, sur {[-1,1]} (donc sur {]-1,1[}).

    De plus {\displaystyle\sum_{n\geq 2} f_n} converge simplement sur {[-1,1]}.

    Ainsi {\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} f_n=f-f_1} est {\mathcal{C}^{\infty}} sur {[-1,1]}.

    On en déduit bien sûr que {f} est {\mathcal{C}^{\infty}} sur {]-1,1[}.

  2. On sait que {g=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}f_n} est continue sur {[-1,1]} donc intégrable sur {]-1,1[}.

    Si {f} était intégrable sur {]-1,1[}, il en serait de même de {f_1 : x\mapsto -\dfrac{1}{x+1}} ce qui n’est pas.

    Ainsi {f=f_1+g} n’est pas intégrable sur {]-1,1[}.

  3. La fonction {f_1 : x\mapsto -\dfrac{1}{x+1}} est développable en série entière sur {]-1,1[}.

    Il suffit donc de montrer que {g=f-f_1} est développable en série entière sur {]-1,1[}.

    On se souvient que {g} est {\mathcal {C}^{\infty}} sur {]-1,1[} avec : {g^{(k)}(x)=\displaystyle\sum_{p=2}^{+\infty}(-1)^{p+k}\dfrac{k!}{(x+p)^{k+1}}}Ainsi {|g^{(k)}(x)|\leq \displaystyle\sum_{p=2}^{+\infty}\dfrac{k!}{(p-1)^{k+1}}}

    Soit {R_n(x)} le reste d’ordre {n} de la série de Taylor de {g} en {0}. On a : {\begin{array}{rl}|R_n(x)|&=\Big|g(x)-\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{g^{(k)}(0)}{k!}x^k\Big|\\\\&=\Big|\displaystyle\int_0^x\dfrac{(x-t)^{n}}{n!}g^{(n+1)}(t) \,\text{d}t\Big |\\\\&\leq |x|^{n+1}\displaystyle\sum_{p=2}^{+\infty} \dfrac{1}{(p-1)^{n+2}}\end{array}}En particulier {|R_n(x)|\leq|x|^{n+1}\displaystyle\sum_{p=2}^{+\infty} \dfrac{1}{(p-1)^{2}}}.

    Il en résulte : {\lim_{n\to +\infty}R_n(x)=0} (car {|x|\lt 1}).

    Ainsi {g} est la somme de sa série de Taylor en {0} sur l’intervalle {]-1,1[}.

    On en déduit que {f=f_1+g} est développable en série entière sur {]-1,1[}.