Récurrences de bon niveau (3)

Exercice 1.
Étudier {(u_n)_{n\ge0}} définies par {0\lt u_1\lt u_0} et :
{\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+2}=\dfrac{u_nu_{n+1}}{2u_n-u_{n+1}}}
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On a tout d’abord {0\lt u_1\lt u_0}.

Supposons qu’on ait {0\lt u_{n+1}\lt u_n}.

La formule donnant {u_{n+2}} montre que celui-ci existe bien ({2u_n-u_{n+1}>0}) et que {u_{n+2}>0}.

Par ailleurs : {\begin{array}{rl}u_{n+1}-u_{n+2}&u_{n+1}-\dfrac{u_nu_{n+1}}{2u_n-u_{n+1}}\\\\&=\dfrac{u_{n+1}(u_n-u_{n+1})}{2u_n-u_{n+1}}>0\end{array}}Ainsi {0\lt u_{n+2}\lt u_{n+1}}

On a donc montré par récurrence que la suite {(u_n)_{n\ge0}} décroit strictement et est à valeurs dans {\mathbb{R}^{+*}}.

Pour tout {n}, on a {u_{n+2}=\dfrac{u_nu_{n+1}}{2u_n-u_{n+1}}} donc : {\dfrac{1}{u_{n+2}}=\dfrac{2u_n-u_{n+1}}{u_nu_{n+1}}=\dfrac{2}{u_{n+1}}-\dfrac{1}{u_n}}Ainsi {\dfrac{1}{u_{n+2}}-\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{u_{n+1}}-\dfrac{1}{u_n}} pour tout {n}

La suite {n\mapsto\dfrac{1}{u_{n+1}}-\dfrac{1}{u_n}} est donc constante.

Soit {\lambda=\dfrac{1}{u_{1}}-\dfrac{1}{u_0}>0} sa valeur.

Pour tout {n} on a :{\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{u_n}+\lambda\;\text{donc}\;\dfrac{1}{u_n}=\dfrac{1}{u_0}+n\lambda}Il en résulte {u_n=\dfrac{u_0}{nu_0\lambda+1}=\dfrac{u_0u_1}{n(u_0-u_1)+u_1}}.

En particulier {\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n=0}.

Exercice 2.
On une suite {(x_n)_{n\ge0}} de nombres réels.
Pour tout {n\ge1}, on note {S_n=\displaystyle\sum\cos(x_0\pm x_1\pm x_2\pm\cdots\pm x_n)}où la somme est étendue aux {2^n} combinaisons possibles de signes devant {x_1,x_2,\ldots,x_n}.
Ainsi {S_1=\cos(x_0+x_1)+\cos(x_0-x_1)} et {\begin{array}{rl}S_2&=\cos(x_0+x_1+x_2)+\cos(x_0+x_1-x_2)\\[6pt]&\quad+\cos(x_0-x_1+x_2)+\cos(x_0-x_1-x_2)\end{array}}Donner une expression factorisée de {S_n}.
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Exercice 3.
Déterminer les polynômes définis par {P_0(x)=1} et : {\forall\,n\ge1,\;P_{n}(x)=n\displaystyle\int_{0}^{x}P'_{n-1}(t+1)\,\text{d}t}
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Exercice 4.
On définit les polynômes {P_n} par :{P_0(x)=0,\; P_1(x)=x-2}{P_{n+2}(x)=xP_{n+1}(x)+(1-x)P_n(x)}Donner l’expression de {P_n(x)} pour tout {n} de {\mathbb{N}}.
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Exercice 5.
On se donne une famille impaire {z_1,z_2,\ldots,z_{2n+1}} de nombres complexes de module {1} et de partie réelle positive ou nulle.
Montrer que {\left|{z_1+z_2+\cdots+z_{2n+1}}\right|\ge1}.
Peut-il y avoir égalité?
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Exercice 6.
On pose {u_0>0} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{1+u_n^2}}Calculer {u_n} pour tout {n} en fonction {u_0}.
En déduire {\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n}.
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