| Exercice 1. Étudier {(u_n)_{n\ge0}} définies par {0\lt u_1\lt u_0} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+2}=\dfrac{u_nu_{n+1}}{2u_n-u_{n+1}}} |
| Exercice 2. On une suite {(x_n)_{n\ge0}} de nombres réels. Pour tout {n\ge1}, on note {S_n=\displaystyle\sum\cos(x_0\pm x_1\pm x_2\pm\cdots\pm x_n)}où la somme est étendue aux {2^n} combinaisons possibles de signes devant {x_1,x_2,\ldots,x_n}. Ainsi {S_1=\cos(x_0+x_1)+\cos(x_0-x_1)} et {\begin{array}{rl}S_2&=\cos(x_0+x_1+x_2)+\cos(x_0+x_1-x_2)\\[6pt]&\quad+\cos(x_0-x_1+x_2)+\cos(x_0-x_1-x_2)\end{array}}Donner une expression factorisée de {S_n}. |
| Exercice 3. Déterminer les polynômes définis par {P_0(x)=1} et : {\forall\,n\ge1,\;P_{n}(x)=n\displaystyle\int_{0}^{x}P'_{n-1}(t+1)\,\text{d}t} |
| Exercice 4. On définit les polynômes {P_n} par :{P_0(x)=0,\; P_1(x)=x-2}{P_{n+2}(x)=xP_{n+1}(x)+(1-x)P_n(x)}Donner l’expression de {P_n(x)} pour tout {n} de {\mathbb{N}}. |
| Exercice 5. On se donne une famille impaire {z_1,z_2,\ldots,z_{2n+1}} de nombres complexes de module {1} et de partie réelle positive ou nulle. Montrer que {\left|{z_1+z_2+\cdots+z_{2n+1}}\right|\ge1}. Peut-il y avoir égalité? |
| Exercice 6. On pose {u_0>0} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{1+u_n^2}}Calculer {u_n} pour tout {n} en fonction {u_0}. En déduire {\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n}. |