Parties infinies de ℕ

On dit que deux ensembles {A} et {B} sont équipotents s’il existe une bijection de {A} dans {B} (ou de {B} dans {A} ce qui est évidemment équivalent).

Partie II

Soit {A} une partie infinie de {\mathbb{N}}.

On va montrer que {A} et {\mathbb{N}} sont équipotents.

Question I.1
Montrer que l’on définit bien une suite { (a_n)_{n \in \mathbb{N}}} d’éléments de {A} de la manière suivante :

  • {a_{0}=\min(A_0)}, où {A_0=A}.
  • Pour tout {n\in\mathbb{N}^*}, {a_{n}=\min A_n}, où {A_n=\Bigl(A\setminus\{a_{0},a_{1},\ldots,a_{n-1}\}\Bigr)}.

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On sait que toute partie non vide de {\mathbb{N}} possède un plus petit élément.

C’est le cas notamment de {A}, ce qui justifie l’existence de {a_{0}}.

On se donne maintenant {n} dans {\mathbb{N}^*}, et on suppose que {a_{0},\ldots,a_{n-1}} existent dans {A}.

On peut alors définir l’ensemble {A_{n}=A\setminus\{a_{0},\ldots,a_{n-1}\}}, partie infinie (donc non vide!) de {\mathbb{N}}.

On peut alors nommer {a_{n}} le minimum de {A_{n}}.

Cela prouve, par récurrence, qu’on a bien défini une suite {(a_{n})_{n\ge0}} de {A}.

Question I.2
Montrer que la suite {n\mapsto a_{n}} est strictement croissante de {\mathbb{N}} dans {A}.
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Question I.3
Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, montrer que {a_{n}\ge n}.
En déduire que : {\forall\,m\in A,\;\exists\,k\in\mathbb{N}^*,\;a_{k}>m}.
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Question I.4
Pour tout {m\in A}, montrer : {\exists\,n\in\mathbb{N},\;a_{n}=m}.
En déduire que {A} et {\mathbb{N}} sont équipotents.
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Partie II

Soit {X} un ensemble infini.

Question II.1.(a)
On suppose qu’il existe {f :X\to\mathbb{N}} injective.
Montrer que {X} et {\mathbb{N}} sont équipotents.
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Question II.1.(b)
Soit {Y} un ensemble équipotent à {\mathbb{N}}.
On suppose qu’il existe {f :X\to Y} injective.
Montrer que {X} et {\mathbb{N}} sont équipotents.
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Question II.2
On pose : {\forall\,n\in\mathbb{Z},\;f(n)=(3n+1)^2}.
Montrer que {\mathbb{Z}} et {\mathbb{N}} sont équipotents.
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Question II.3.(a)
Soit {f :\mathbb{N}^2\to\mathbb{N}} définie par {f(m,n)=(m+n)^2+n}On se donne {(m,n)} et {(m',n')} dans {\mathbb{N}^2}.
Montrer que {m'\!+\!n'\!>\!m\!+\!n\!\Rightarrow\! f(m',n')\!>\!f(m,n)}
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Question II.3.(b)
En déduire que {\mathbb{N}^2} et {\mathbb{N}} sont équipotents.
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Question II.4.(a)
Soient {A} et {B} équipotents à {\mathbb{N}}.
Montrer que {A\times B} et {\mathbb{N}} sont équipotents.
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Question II.4.(b)
Plus généralement, soit {A_{1},\ldots,A_{n}} équipotents à {\mathbb{N}}.
Montrer {A_{1}\times A_{2}\times\cdots\times A_{n}} est équipotent à {\mathbb{N}}.
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Question II.5
On sait que tout nombre rationnel {x} peut s’écrire de manière unique sous la forme {x=p/q} avec {p} dans {\mathbb{Z}} et {q} dans {\mathbb{N}^*}, la fraction étant non simplifiable).
Utiliser cette propriété pour montrer que {\mathbb{Q}} et {\mathbb{N}} sont équipotents.
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Question II.6
Montrer que {\mathscr{P}(\mathbb{N})} et {\mathbb{N}} ne sont pas équipotents.
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