Polynômes de Tchebychev (1/3)

Partie I | Partie II | Partie III

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On définit une suite de polynômes {(T_n)_{n\ge0}} par :
{\begin{array}{l}T_0(X)=1,\quad T_1(X)=X\\[9pt]\forall \,n\in\mathbb{N} :\;T_{n+2}(X)=2X T_{n+1}(X)-T_n(X)\end{array}}

Partie I. Propriétés générales

Question I.1 Calculer {T_2}, {T_3}, {T_4} et {T_5}.

Question I.2.a Montrer que {T_n} est de degré {n}. Préciser son coefficient dominant.

Question I.2.b Montrer que {T_n} a la parité de {n}.

Question I.2.c Montrer que {T_n(1)=1}.

Question I.3 Montrer l’implication: {m\leq n\Rightarrow 2\,T_n\,T_m=T_{n+m}+T_{n-m}}

Question I.4 Prouver que : {T_m(T_n(X))=T_{mn}(X)}.

On définit une suite de polynômes {(T_n)_{n\ge0}} par :
{\begin{array}{l}T_0(X)=1,\quad T_1(X)=X\\[9pt]\forall \,n\in\mathbb{N} :\;T_{n+2}(X)=2X T_{n+1}(X)-T_n(X)\end{array}}

Partie I. Propriétés générales

Question I.1 Calculer {T_2}, {T_3}, {T_4} et {T_5}.

Question I.2.a Montrer que {T_n} est de degré {n}. Préciser son coefficient dominant.

Question I.2.b Montrer que {T_n} a la parité de {n}.

Question I.2.c Montrer que {T_n(1)=1}.

Question I.3 Montrer l’implication: {m\leq n\Rightarrow 2\,T_n\,T_m=T_{n+m}+T_{n-m}}

Question I.4 Prouver que : {T_m(T_n(X))=T_{mn}(X)}.