Polynômes de Tchebychev (2/3)

Partie I | Partie II | Partie III


On définit une suite de polynômes {(T_n)_{n\ge0}} par :
{\begin{array}{l}T_0(X)=1,\quad T_1(X)=X\\[9pt]\forall \,n\in\mathbb{N} :\;T_{n+2}(X)=2X T_{n+1}(X)-T_n(X)\end{array}}

Partie I. Propriétés générales

Question I.1
Calculer {T_2}, {T_3}, {T_4} et {T_5}.
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Question I.2.a
Montrer que {T_n} est de degré {n}.
Préciser son coefficient dominant.
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Question I.2.b
Montrer que {T_n} a la parité de {n}.
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Question I.2.c
Montrer que {T_n(1)=1}.
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Question I.3
Montrer l’implication: {m\leq n\Rightarrow 2\,T_n\,T_m=T_{n+m}+T_{n-m}}
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Question I.4
Prouver que : {T_m(T_n(X))=T_{mn}(X)}.
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Partie II. Étude des polynômes {T_n}

Question II.1
Montrer les égalités suivantes : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;\forall\,\alpha\in\mathbb{R},\;\begin{cases}T_n(\cos\alpha)=\cos(n\alpha)\\[6pt]T_n(\cosh\alpha)=\cosh(n\alpha)\end{cases}}
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Question II.2
Etablir que, pour {n\geq1}, les zéros de {T_n} sont :{\forall\,k=0,\ldots,n\!-\!1:\;x_k=\cos\Bigl(\dfrac\pi{2n}+\dfrac{k\pi}n\Bigr)}
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Question II.3.a
Montrer que : {\forall\,\alpha\in\,]0,\pi[,\;\forall\,n\in\mathbb{N},\;T_n'(\cos\alpha)=n\dfrac{\sin(n\alpha)}{\sin\alpha}}
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Question II.3.b
En déduire les extrémums de {T_n} (avec {n\ge2}) et en quels points ils sont atteints.
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Question II.4
Pour {n\ge1}, décomposer la fraction rationnelle {\dfrac 1{T_n}} en éléments simples.
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Question II.5
Montrer que, pour tout {n\in\mathbb{N}} : {(1-X^2)T_n''-X T_n'+n^2T_n=0}
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