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Partie III. Une propriété de minimum
Soit {P} un polynôme à coefficients réels de monôme dominant {\lambda X ^n}, où {n\geq1}.
Question III.1
Montrer que {\sup\{|P(x)|,\;x\in[-1,1]\} \geq \dfrac{|\lambda|}{2^{n-1}}}
Indication : Raisonner par l’absurde et considérer le polynôme {Q=2^{n-1}P-\lambda T_n}.
Montrer que {\sup\{|P(x)|,\;x\in[-1,1]\} \geq \dfrac{|\lambda|}{2^{n-1}}}
Indication : Raisonner par l’absurde et considérer le polynôme {Q=2^{n-1}P-\lambda T_n}.
Question III.2
Plus généralement, montrer que :{\sup\{|P(x)|,\;a\leq x\leq b\} \geq \Bigl(\dfrac{b-a}2\Bigr)^n\dfrac{|\lambda|}{2^{n-1}}}Indication : Utiliser un changement de variable pour se ramener au segment {[-1,1]}.
Plus généralement, montrer que :{\sup\{|P(x)|,\;a\leq x\leq b\} \geq \Bigl(\dfrac{b-a}2\Bigr)^n\dfrac{|\lambda|}{2^{n-1}}}Indication : Utiliser un changement de variable pour se ramener au segment {[-1,1]}.